Campionamento dalla distribuzione marginale usando la distribuzione condizionale?

Voglio campionare da una densità univariata ma conosco solo la relazione: $f_X$

f_{X} (x) = \int f_{X | Y} (x | y) f_{Y} (y) d y .

$f_X(x) = \int f_{X\vert Y}(x\vert y)f_Y(y) dy.$

Voglio evitare l'uso di MCMC (direttamente sulla rappresentazione integrale) e, poiché e sono facili da campionare, stavo pensando di usare il seguente campionatore : $f_{X\vert Y}(x\vert y)$ $f_Y(y)$

Per $j=1,\dots, N$ .
Esempio $y_j \sim f_Y$ .
Esempio $x_j \sim f_{X\vert Y}(\cdot\vert y_j)$ .

Quindi, con le coppie $(x_1,y_1),...,(x_N,y_N)$ e prenderò solo i campioni marginali $(x_1,\dots,x_N)$ . È corretto?

— asta
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Sì, questo è corretto. Fondamentalmente, hai

f_{X, Y} (x, y) = f_{X | Y} (x | y) f_{Y} (y),

$f_{X,Y}(x,y) = f_{X|Y}(x|y) f_Y(y),$

e come hai detto, puoi campionare dalla densità articolare. Raccogliere solo le dai campioni ti porta a un campione dalla distribuzione marginale. $x$

Questo perché l'atto di ignorare è simile all'integrazione su di esso. Comprendiamolo con un esempio. $y$

Supponiamo che = altezza delle madri e = altezza della figlia. L'obiettivo è quello di ottenere un campione da per comprendere la relazione tra le altezze delle figlie e le loro madri. (Sto supponendo che ci sia una sola figlia in famiglia e che limiti la popolazione a tutte le figlie di età superiore ai 18 anni per garantire la piena crescita). $X$ $Y$ $(X,Y)$

Esci e ottieni un campione rappresentativo

(x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{N}, y_{N}) .

$(x_1, y_1), \dots, (x_N, y_N).$

Quindi, per ogni madre, hai l'altezza della loro figlia. Dovrebbe esserci una chiara relazione tra e . Supponiamo ora dal tuo set di dati, di ignorare tutti i dati sulle figlie (rilasciare la ), quindi cosa hai? Hai esattamente altezze di madri scelte a caso che saranno trae dalla marginale di . $X$ $Y$ $Y$ $N$ $X$

— Greenparker
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Grazie per questo, questo è utile. Sai se questa strategia di campionamento può essere collegata al campionamento di Gibbs per giustificarlo formalmente?

— Rod,

Se è possibile campionare facilmente dalla distribuzione congiunta, ignorare per ottenere il marginale per non necessita di giustificazione. È una cosa comune da fare. Forse, puoi dire che è una variabile di Linchpin , ma dal momento che non hai bisogno del campionamento di Gibbs per campionare da , qui non è necessario MCMC.

y

$y$

x

$x$

y

$y$

y

$y$

— Greenparker,

Greenparker, ma esiste una prova formale di tale affermazione, vale a dire considerando che solo una parte del campione prelevato dall'articolazione fornisce un campione marginale?

— Un vecchio nel mare.

Campionare "X = madri" campionando (X, Y) e prendendo X in realtà ti dà campioni di "madri che hanno esattamente una figlia adulta", che non è la stessa cosa di "madri". Ma anche se cambiamo il tuo esempio per dire che sei interessato a "X = madri che hanno esattamente una figlia adulta", arrivare a X campionando (X, Y) inclina il tuo campione in base alla distribuzione di Y. p (v ) = ∑ (u in support (U)) (p (u, v))) = ∑ (u in support (U)) (p (v | u) * p (u))) = (1 / sampleSize ( u)) * ∑ (u in sample (U)) (p (v | u))), perché ogni valore di u appare nel campione con probabilità p (u) - quindi è necessario fare la media di p (v | u) disegna

— radumanolescu il