Qual è la differenza tra imparzialità asintotica e coerenza?

Ognuno implica l'altro? In caso contrario, l'uno implica l'altro? Perché perché no?

Questo problema è emerso in risposta a un commento su una risposta che ho pubblicato qui .

Sebbene la ricerca di Google nei termini pertinenti non abbia prodotto nulla di particolarmente utile, ho notato una risposta sullo scambio di stack matematici. Tuttavia, ho pensato che questa domanda fosse appropriata anche per questo sito.

MODIFICA dopo aver letto i commenti

Relativamente alla risposta math.stackexchange, stavo cercando qualcosa di più approfondito, coprendo alcuni dei problemi trattati nel thread di commenti @whuber collegato . Inoltre, come la vedo io, la domanda math.stackexchange mostra che la coerenza non implica imparzialità asintotica ma non spiega molto sul perché. L'OP dà anche per scontato che l'imparzialità asintotica non implica coerenza, e quindi il solo soccorritore finora non si occupa del perché.

— user1205901 - Ripristina Monica
fonte

Discussione in chat pertinente che inizia qui.

— Stephan Kolassa,

I concetti relativi a questa domanda sono ampiamente discussi nei commenti seguenti stats.stackexchange.com/a/31038/919 .

— whuber

E un thread di follow-up alla discussione collegata a @whuber è qui: stats.stackexchange.com/questions/120584 .

— ameba dice che ripristini Monica

Nel post correlato su math.se , il rispondente assume come dato che la definizione di imparzialità asintotica è . $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Intuitivamente, non sono d'accordo: "imparzialità" è un termine che impariamo prima in relazione a una distribuzione (campione finito). Sembra quindi più naturale considerare l '"imparzialità asintotica" in relazione a una distribuzione asintotica . E in effetti, questo è ciò che fanno Lehmann e Casella in "Theory of Point Estimation (1998, 2nd ed) , p. 438 Definizione 2.1 (notazione semplificata):

$If k_{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ) \to_{d} H$ $\text{If} \;\;\;k_n(\hat \theta_n - \theta )\to_d H$
per alcune sequenze e per alcune variabili casuali , lo stimatore è asintoticamente imparziale se il valore atteso di è zero. $k_n$ $H$ $\hat \theta_n$ $H$

Data questa definizione, possiamo sostenere che la coerenza implica imparzialità asintotica da allora

{\hat{θ}}_{n} \to_{p} θ ⟹ {\hat{θ}}_{n} - θ \to_{p} 0 ⟹ {\hat{θ}}_{n} - θ \to_{d} 0

$\hat \theta_n \to_{p}\theta \implies \hat \theta_n - \theta \to_{p}0 \implies \hat \theta_n - \theta \to_{d}0$

... e la distribuzione degenerata che è uguale a zero ha un valore atteso uguale a zero (qui la sequenza è una sequenza di quelle). $k_n$

Ma ho il sospetto che questo non sia davvero utile, è solo un sottoprodotto di una definizione di imparzialità asintotica che consente di degenerare variabili casuali. In sostanza vorremmo sapere se, se avessimo un'espressione che coinvolge lo stimatore che converge in un valore non degenato, la coerenza implicherebbe comunque l'imparzialità asintotica.

In precedenza nel libro (p. 431 Definizione 1.2), gli autori chiamano la proprietà come " imparzialità nel limite ", e non coincide con l'imparzialità asintotica. $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

La discrepanza nel limite è sufficiente (ma non necessaria) per la coerenza nella condizione aggiuntiva che la sequenza delle varianze dello stimatore vada a zero (implicando che la varianza esiste in primo luogo).

Per le complessità legate alla concistenza con varianza diversa da zero (un po 'da capogiro), visita questo post .

— Alecos Papadopoulos
fonte

Capisco correttamente che nella definizione può essere qualsiasi variabile casuale (vale a dire, per una sequenza e qualche ecc.)? Se è così, forse questo potrebbe essere menzionato

H

$H$

k_{n}

$k_n$

H

$H$

— Juho Kokkala,

È un peccato che questa risposta incorpori solo "L'insufficienza nel limite è sufficiente" e non anche "a condizione che la sequenza di varianze dello stimatore vada a zero". È facile essere fuorviati qui, poiché questa condizione aggiuntiva è cruciale per questa "sufficienza".

— daegan,