Come aggiungere due variabili casuali dipendenti?

Lo so, non posso usare la convoluzione. Ho due variabili casuali A e B e sono dipendenti. Ho bisogno della funzione distributiva di A + B

random-variable non-independent

— Mesko
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Se A e B sono dipendenti, è necessaria la distribuzione congiunta di A e B per arrivare alla distribuzione di A + B.

— Linux

Non capisco la tua domanda. Cosa sai e perché non puoi usare la convoluzione?

— Xi'an,

Conosco la funzione distributiva di A e B. f A e B sono due variabili casuali continue e indipendenti, quindi posso trovare la distribuzione di Z = A + B prendendo la convoluzione di f (A) e g (B): h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞ − ∞f (A) g (z − B) dA Ma cosa posso fare quando non sono indipendenti? Mi dispiace, se questa è una domanda stupida.

— Mesko,

Mesko non è una domanda stupida, ma ciò che la gente sta sottolineando è che ha bisogno di più informazioni. La risposta dipende da come

non siano indipendenti. Una descrizione completa di ciò è data dalla distribuzione congiunta di

, che è ciò che chiede Linux. Xi'an sta sondando un po 'più delicatamente ma cerca davvero lo stesso tipo di informazioni per aiutarti a fare progressi.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— whuber

Risposte:

Come sottolinea vinux, si ha bisogno della distribuzione congiunta di e , e non è ovvio dalla risposta di OP Mesko "Conosco la funzione distributiva di A e B" che sta dicendo che conosce il $A$ $B$ giunto distribuzione di A e B: potrebbe sta dicendo che conosce le distribuzioni marginali di A e B. Tuttavia, supponendo che Mesko conosca la distribuzione congiunta, la risposta è data di seguito.

Dall'integrale di convoluzione nel commento di OP Mesko (che è sbagliato, tra l'altro), si potrebbe dedurre che Mesko è interessato a variabili casuali e congiuntamente continue con funzione di densità di probabilità congiunta . In questo caso, $A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$ Quandoesono indipendenti, la funzione di densità articolare si inserisce nel prodotto delle funzioni di densità marginale:

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ e otteniamo la formula di convoluzione più familiare per variabili casuali indipendenti. Un risultato simile si applica anche a variabili casuali discrete.

$A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ $A+B$ $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ $F_{A+B}(z)$

— Dilip Sarwate
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Ciò è legato al mio commento e alla risposta su un'altra domanda riguardante le distribuzioni congiunte qualche giorno fa.

— Xi'an,

In precedenza, non so se quello che sto dicendo è corretto, ma mi sono bloccato sullo stesso problema e ho cercato di risolverlo in questo modo:

esprimere la distribuzione congiunta usando la funzione step heaviside:

f_{UN, B} (un', B) = (un' + B) H (un', B) H (- un' + 1, - B + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$ o equivalentemente

f_{UN, B} (un', B) = (un' + B) (H (un') - H (un' - 1)) (H (B) - H (B - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$ Ora puoi eseguire l'integrale senza preoccuparti dei limiti di integrazione.

Questa è la rappresentazione wolfram dell'articolazione: A

Calcolo dell'integrale che ho: B

Tracciato: C

Questa è la funzione:

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$ and it's normalized as you can easily check.

— R.Lac
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The question did nt seem to be specific enough about the joint distribution to get an answer. How did you come up with one.?

— Michael R. Chernick

+1 per aver risolto correttamente il presunto controesempio nella risposta di @ cdlg e aver dimostrato che i calcoli eseguiti correttamente forniscono la risposta corretta e non i risultati errati nella risposta di cdlg. Non posso credere che quella risposta abbia ricevuto due voti.

— Dilip Sarwate,