Processi gaussiani nel dominio wavelet: qual è la covarianza?

Ho letto Maraun et al , "Processi gaussiani non stazionari nel dominio wavelet: sintesi, stima e test significativi" (2007) che definisce una classe di GP non stazionari che possono essere specificati da moltiplicatori nel dominio wavelet. Una realizzazione di uno di questi GP è: dove è rumore bianco, è la trasformazione wavelet continua rispetto a wavelet , è il moltiplicatore (un po 'come un coefficiente di Fourier) con scala e tempo , e è la trasformata wavelet inversa con wavelet di ricostruzione .

s (t) = M_{h} m (b, a) W_{g} η (t),

$s(t) = M_h m(b,a) W_g \eta(t)\, ,$

η (t)

$\eta(t)$

W_{g}

$W_g$

g

$g$

m (b, a)

$m(b,a)$

a

$a$

b

$b$

M_{h}

$M_h$

h

$h$

Un risultato fondamentale del documento è che se i moltiplicatori cambia solo lentamente, quindi la realizzazione stessi sono solo "debolmente" dipendente dalle scelte effettive di ed . Quindi specifica il processo. Continuano a creare alcuni test significativi per aiutare a inferire i moltiplicatori wavelet basati su realizzazioni. $m(b,a)$ $g$ $h$ $m(b,a)$

Due domande:

1. Come valutiamo la probabilità GP standard che è ? $p(D) = \mathcal{N}(0,K)$

Immagino che stiamo effettivamente facendo un cambio di coordinate, quindi dove sono le wavelet e è la matrice (diagonale?) Dei coefficienti wavelet . Tuttavia, usano un CWT non ortonormale, quindi non so se sia corretto. $K^{-1} = W^T M^{-1} W$ $W$ $M$ $m(a,b)$

2. In che modo questo GP del dominio wavelet può essere correlato a un GP dello spazio reale ? In particolare, possiamo calcolare un kernel nello spazio reale (non stazionario) da ? $k$ $m(a,b)$

Per fare un confronto, il nocciolo di un processo gaussiano stazionario è il doppio di Fourier della sua densità spettrale (il teorema di Bochner, vedi il capitolo 4 di Rasmussen) - che offre un modo semplice per passare da un GP dello spazio reale a uno di frequenza. Qui sto chiedendo se esiste una relazione del genere nel dominio wavelet.

— Cgreen
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Sei arrivato da qualche parte con questo. Non sono sicuro che il cambiamento delle variabili sia corretto in quanto ciò sarebbe in contraddizione quando dicono che è chiamato il kernel riproduttore?

K_{g, h} (b - b / a, a / a) = W_{g, h} (b - b / a)

$K_{g,h}(b−b/a,a/a)=W_{g,h}(b−b/a)$

— TCD

Il processo di guida, rumore bianco η (t), è indipendente dalla scelta della base. In un CWT (a differenza del DWT che salta nelle ottave) c'è una ridondanza, le bande d'onda strette si sovrappongono. La "caratteristica" sottoposta a test di significatività è una varianza (potenza) osservata a bassa frequenza in breve tempo. Ciò dipende chiaramente matematicamente dalla wavelet scelta ma non molto: una larghezza di banda più stretta può rilevare caratteristiche che cambiano più lentamente con maggiore sensibilità, una larghezza di banda più ampia è più reattiva ma ha uno sfondo più rumoroso ed è meno specifica.

Poiché questo misura lo spazio wavelet è integrato durante la durata di wavelet, la trasformazione che hai scritto sarebbe per qualsiasi "punto nel tempo". Generalmente sono necessarie informazioni sulla fase per invertire il CWT. Il test di Maraun è essenzialmente al potere Chi-quadrato.
No. Maraun dipende dal segnale al rumore in una banda di frequenza in un intervallo di tempo, questo potrebbe avere diverse realizzazioni nello spazio del rumore ed è indipendente dalla fase. È sensibile a un segnale AR (1) nel dominio wavelet a una frequenza specifica, ad esempio un'oscillazione sostenuta nel tempo, ad esempio il dominio CWT tenderà a sopprimere un picco isolato nel rumore della banda larga.

— James Prichard
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