Probabilità di una serie di successi in una sequenza di prove di n Bernoulli

Sto cercando di trovare la probabilità di ottenere 8 prove di fila corrette in un blocco di 25 prove, hai 8 blocchi totali (di 25 prove) per ottenere 8 prove corrette di fila. La probabilità di ottenere una prova corretta basata sull'ipotesi è 1/3, dopo aver corretto 8 di fila i blocchi finiranno (quindi tecnicamente non è possibile ottenere più di 8 di fila). Come farei per trovare la probabilità che ciò accada? Ho pensato di usare (1/3) ^ 8 come probabilità di ottenere 8 di fila corretti, ci sono 17 possibili possibilità di ottenere 8 di fila in un blocco di 25 prove, se moltiplico 17 possibilità * 8 blocchi ottengo 136, 1- (1- (1/3) ^ 8) ^ 136 mi darebbe la probabilità di ottenere 8 di fila corretti in questa situazione o mi sto perdendo qualcosa di fondamentale qui?

Tenendo traccia delle cose è possibile ottenere una formula esatta .

Lasciate che $p=1/3$ la probabilità di successo e $k=8$ il numero di successi di fila che si desidera contare. Questi sono stati risolti per il problema. I valori delle variabili sono $m$ , il numero di prove rimaste nel blocco; e $j$ , il numero di successi successivi già osservato. Lasciate che la possibilità di raggiungere alla fine $k$ successi di fila prima di $m$ prove sono esauriranno scritto $f_{p,k}(j,m)$ . Cerchiamo $f_{1/3,8}(0,25)$ .

Supponiamo di avere appena visto la nostra $j^\text{th}$ successo di fila con $m\gt0$ prove di andare. La prossima prova è un successo, con probabilità $p$ - nel qual caso $j$ viene aumentato a $j+1$ -; altrimenti è un errore, con probabilità $1-p$ - nel qual caso $j$ viene resettato a $0$ . In entrambi i casi, $m$ diminuisce di $1$ . da cui

$$f_{p,k}(j,m) = p f_{p,k}(j+1,m-1) + (1-p)f_{p,k}(0,m-1).$$

Come condizioni iniziali abbiamo i risultati ovvi $f_{p,k}(k,m)=1$ per $m \ge 0$ ( ovvero , abbiamo già visto $k$ in una riga) e $f_{p,k}(j,m)=0$ per $k-j \gt m$ ( cioè , non ci sono prove sufficienti per ottenere $k$di fila). Ora è veloce e semplice (utilizzando la programmazione dinamica o, poiché i parametri di questo problema sono così piccoli, ricorsione) da calcolare

$$f_{p,8}(0,25) = 18p^8 - 17p^9 - 45p^{16} + 81p^{17}-36p^{18}.$$

Quando questo rendimenti 80897 / 43,046721 millions ≈ ,0018,793 mila .$p=1/3$$80897 / 43046721 \approx 0.0018793$

Il Rcodice relativamente veloce per simulare questo è

hits8 <- function() {
    x <- rbinom(26, 1, 1/3)                # 25 Binomial trials
    x[1] <- 0                              # ... and a 0 to get started with `diff`
    if(sum(x) >= 8) {                      # Are there at least 8 successes?
        max(diff(cumsum(x), lag=8)) >= 8   # Are there 8 successes in a row anywhere?
    } else {
        FALSE                              # Not enough successes for 8 in a row
    }
}
set.seed(17)
mean(replicate(10^5, hits8()))

Dopo 3 secondi di calcolo, l'output è . Anche se questo sembra alto, sono solo 1,7 gli errori standard off. Ho eseguito altre 10 6 iterazioni, ottenendo 0,001867 : solo 0,3 errori standard in meno del previsto. (Come doppio controllo, poiché una versione precedente di questo codice aveva un bug sottile, ho anche eseguito 400.000 iterazioni in Mathematica, ottenendo una stima di 0,0018475 .)$0.00213$$10^6$$0.001867$$0.3$$0.0018475$

Questo risultato è meno di un decimo la stima di nella domanda. Ma forse non ho pienamente capito: un'altra interpretazione di "si dispone di 8 blocchi totali ... per ricevere 8 prove correggere di fila" è che l'essere risposta cercata eguali 1 - ( 1 - f 1 / 3 , 8 ( 0 , 25 ) ) 8 ) = ,0149,358 mila ... .$1-(1-(1/3)^8)^{136} \approx 0.0205$$1 - (1 - f_{1/3,8}(0,25))^8) = 0.0149358...$

Mentre l'eccellente soluzione di programmazione dinamica di @ whuber merita una lettura, il suo tempo di esecuzione è rispetto al numero totale di prove me la lunghezza di prova desiderata k mentre il metodo di esponenziazione della matrice è O ( k 3 log ( m ) ) . Se m è molto più grande di k , il seguente metodo è più veloce.$\mathcal O(k^2m)$$m$$k$$\mathcal O(k^3\log(m))$$m$$k$

Entrambe le soluzioni considerano il problema come una catena di Markov con stati che rappresentano finora il numero di prove corrette alla fine della stringa e uno stato per ottenere le prove corrette desiderate di seguito. La matrice di transizione è tale che vedere un errore con probabilità ti riporta allo stato 0, e altrimenti con probabilità 1 - p ti porta allo stato successivo (lo stato finale è uno stato assorbente). Elevando questa matrice al n esima potenza, il valore nella prima riga e ultima colonna è la probabilità di vedere k = 8 teste di fila. In Python:$p$$1-p$$n$$k=8$

import numpy as np

def heads_in_a_row(flips, p, want):
    a = np.zeros((want + 1, want + 1))
    for i in range(want):
        a[i, 0] = 1 - p
        a[i, i + 1] = p
    a[want, want] = 1.0
    return np.linalg.matrix_power(a, flips)[0, want]

print(heads_in_a_row(flips=25, p=1.0 / 3.0, want=8))

restituisce 0,00187928367413 come desiderato.

Secondo questa risposta , spiegherò un po 'di più l'approccio Markov-Chain di @Neil G e fornirò una soluzione generale a tali problemi R. Indichiamo il numero desiderato di prove corrette di fila per , il numero di prove come n e una prova corretta di W (vittoria) e una prova errata di F (esito negativo). Nel processo di tenere traccia delle prove, vuoi sapere se hai già avuto una serie di 8 prove corrette e il numero di prove corrette alla fine della sequenza corrente. Ci sono 9 stati ( k + 1 ):$k$$n$$W$$F$$k+1$

: Non abbiamo avuto 8 prove corrette di fila ma, e l'ultimo processo è stato F .$A$$8$$F$

: Non abbiamo avuto 8 prove corrette in fila ancora, e gli ultimi due prove erano F W .$B$$8$$FW$

: Non abbiamo avuto 8 prove corrette in fila ancora, e gli ultimi tre prove erano F W W .$C$$8$$FWW$

$\ldots$

: Non abbiamo avuto 8 prove corrette in fila ancora, e gli ultimi otto prove erano F W W W W W W W .$H$$8$$FWWWWWWW$

: Abbiamo avuto 8 prove corrette di seguito!$I$$8$

La probabilità di passare allo stato dallo stato A è p = 1 / 3 e con probabilità 1 - p = 2 / 3 restiamo in stato di A . Dallo stato B , la probabilità di passare allo stato C è 1 / 3 e con probabilità 2 / 3 si muovono di nuovo a A . E così via. Se siamo nello stato I , restiamo lì.$B$$A$$p=1/3$$1-p=2/3$$A$$B$$C$$1/3$$2/3$$A$$I$

From this, we can construct a $9\times9$ transition matrix $M$ (as each column of $M$ sums to $1$ and all entries are positive, $M$ is called a left stochastic matrix):

$$M= \begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 1 \end{pmatrix}$$

Each column and row corresponds to one state. After $n$ trials, the entries of $M^{n}$ give the probability of getting from state $j$ (column) to state $i$ (row) in $n$ trials. The rightmost column corresponds to the state $I$ and the only entry is $1$ in the right lower corner. This means that once we are in state $I$, the probability to stay in $I$ is $1$. We are interested in the probability of getting to state $I$ from state $A$ in $n=25$ steps which corresponds to the lower left entry of $M^{25}$ (i.e. $M^{25}_{91}$). All we have to do now is calculating $M^{25}$. We can do that in R with the matrix power function from the expm package:

library(expm)

k <- 8   # desired number of correct trials in a row
p <- 1/3 # probability of getting a correct trial
n <- 25  # Total number of trials 

# Set up the transition matrix M

M <- matrix(0, k+1, k+1)

M[ 1, 1:k ] <- (1-p)

M[ k+1, k+1 ] <- 1

for( i in 2:(k+1) ) {

  M[i, i-1] <- p

}

# Name the columns and rows according to the states (A-I)

colnames(M) <- rownames(M) <- LETTERS[ 1:(k+1) ]

round(M,2)

     A    B    C    D    E    F    G    H I
A 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0
B 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0
C 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0
D 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0
E 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0
F 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0
G 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0
H 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0
I 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 1

# Calculate M^25

Mn <- M%^%n
Mn[ (k+1), 1 ]
[1] 0.001879284

The probability of getting from state $A$ to state $I$ in 25 steps is $0.001879284$, as established by the other answers.

Here is some R code that I wrote to simulate this:

tmpfun <- function() {
     x <- rbinom(25, 1, 1/3)  
     rx <- rle(x)
     any( rx$lengths[ rx$values==1 ] >= 8 )
}

tmpfun2 <- function() {
    any( replicate(8, tmpfun()) )
}

mean(replicate(100000, tmpfun2()))

I am getting values a little smaller than your formula, so one of us may have made a mistake somewhere.

Here is a Mathematica simulation for the Markov chain approach, note that Mathematica indexes by $1$ not $0$:

M = Table[e[i, j] /. {
    e[9, 1] :> 0,
    e[9, 9] :> 1,
    e[_, 1] :> (1 - p),
    e[_, _] /; j == i + 1 :> p,
    e[_, _] :> 0
  }, {i, 1, 9}, {j, 1, 9}];

x = MatrixPower[M, 25][[1, 9]] // Expand

This would yield the analytical answer:

$$18 p^8 - 17 p^9 - 45 p^{16} + 81 p^{17} - 36 p^{18}$$

Evaluating at $p=\frac{1.0}{3.0}$

x /. p -> 1/3 // N

Will return $0.00187928$

This can also be evaluated directly using builtin Probability and DiscreteMarkovProcess Mathematica functions:

Probability[k[25] == 9, Distributed[k, DiscreteMarkovProcess[1, M /. p -> 1/3]]] // N

Which will get us the same answer: $0.00187928$