Intuizione dietro la percentuale di rischio

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Sono confuso riguardo all'equazione che funge da definizione della percentuale di rischio. Mi viene l'idea di quale sia il tasso di rischio, ma non vedo come l'equazione esprima quell'intuizione.

Se è una variabile casuale che rappresenta il punto temporale della morte di qualcuno in un intervallo di tempo . Quindi la percentuale di pericolo è: $x$ $[0,T]$

h (x) = \frac{f (x)}{1 - F (x)}

$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$

Dove rappresenta la probabilità di morte fino a quando punto di tempo , rappresenta la probabilità di essere sopravvissuti fino ad punto di tempo , e è la probabilità di morte al punto . $F(x)$ $x\in[0,T]$
$1-F(x)$ $x\in[0,T]$
$f(x)$ $x$

In che modo la divisione di $f(x)$ per il tasso di sopravvivenza spiega l'intuizione della probabilità di morte istantanea nel prossimo $\Delta t$ ? Non dovrebbe essere solo $f(x)$ , rendendo banale il calcolo della percentuale di rischio?

survival intuition hazard

— user246315
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Lascia che indichi l'ora della morte (o l'ora del fallimento se preferisci una descrizione meno morbosa). Supponiamo che sia una variabile casuale continua la cui funzione di densità è diversa da zero solo su . Ora, nota che deve essere il caso che decada a come perché se non decade come indicato, allora non può contenere. Quindi, la tua idea che è la probabilità di morte al momento (in realtà lo è $X$ $X$ $f(t)$ $(0,\infty)$ $f(t)$ $0$ $t \to \infty$ $f(t)$ $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$ $f(T)$ $T$ $f(T)\Delta t$ che è (approssimativamente) la probabilità di morte nel breve intervallo di lunghezza ) porta a conclusioni non plausibili e incredibili come $(T, T+\Delta t]$ $\Delta t$

È più probabile che tu muoia entro il mese successivo quando hai trent'anni rispetto a quando hai novantotto anni.

ogni volta che è tale che . $f(t)$ $f(30) > f(98)$

Il motivo per cui (o ) è la probabilità "sbagliata" di guardare è che il valore di è interessante solo per coloro che sono vivi all'età di (e ancora abbastanza mentalmente attento da leggere stats.SE su base regolare!) Ciò che dovrebbe essere guardato è la probabilità che un anno vecchio muoia entro il mese successivo, cioè, $f(T)$ $f(T)\Delta t$ $f(T)$ $T$ $T$

$\begin{aligned} P {(X \in (T, T + Δ t] ∣ X \geq T} & = \frac{P {(X \in (T, T + Δ t]) \cap (X \geq T)}}{P {X \geq T}} \\ definition of conditional probability \\ = \frac{P {X \in (T, T + Δ t]}}{P {X \geq T}} \\ = \frac{f (T) Δ t}{1 - F (T)} \\ because X is a continuous rv \end{aligned}$ $\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$

Scegliendo per due settimane, una settimana, un giorno, un'ora, un minuto, ecc. Arriviamo alla conclusione che il tasso di rischio (istantaneo) per un -year vecchio è $\Delta t$ $T$

$h (T) = \frac{f (T)}{1 - F (T)}$ $h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$

nel senso che la probabilità approssimativa di morte nel successivo femtosecondo di un -year old è $(\Delta t)$ $T$ $\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

Si noti che in contrasto con la densità integra con , l'integrale deve divergere. Questo perché il CDF è correlato alla percentuale di pericolo attraverso $f(t)$ $1$ $\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$

F (t) = 1 - \exp (- \int_{0}^{t} h (τ) d τ)

$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$ e poiché , esso deve essere che o dichiarato in modo più formale, l'integrale del tasso di rischio deve divergere: non c'è potenziale divergenza come rivendicato una modifica precedente.

lim_{t \to \infty} F (t) = 1

$\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$

lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} h (τ) d τ = \infty,

$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$

Le percentuali di rischio tipiche sono funzioni temporali in aumento, ma sono possibili percentuali di rischio costanti (vite esponenziali). Entrambi questi tipi di percentuali di rischio hanno ovviamente integrali divergenti. Uno scenario meno comune (per coloro che credono che le cose migliorino con l'età, come fa il buon vino) è un tasso di rischio che diminuisce con il tempo ma abbastanza lentamente da divergere integralmente.

— Dilip Sarwate
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"Lascia che X indichi il tempo della morte (o il momento del fallimento se preferisci una descrizione meno morbosa". Il tempo fino al recupero è ancora meno morboso.

— ryu576,

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Immagina di essere interessato all'incidenza del (primo) matrimonio per uomini. Per vedere l'incidenza del matrimonio all'età di 20 anni, diciamo, selezioneresti un campione di persone che non sono sposate a quell'età e vedere se si sposano entro l'anno successivo (prima che compiono 21 anni).

È possibile ottenere una stima approssimativa di come proporzione di individui che si sono sposati dal tuo campione di single di 20 anni, ad esempio

P (m a r r y b e f o r e 21 | n o t m a r r i e d a t 20)

$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$

\frac{N (m a r r i e d b e f o r e 21 a n d n o t m a r r i e d a t 20)}{N (n o t m a r r i e d a t 20)}

$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$

Quindi, fondamentalmente, questo sta semplicemente usando la definizione di probabilità condizionale, Ora immagina di rendere sempre più piccola l'unità di età, ad esempio fino a giorni. Cioè qual è l'incidenza del matrimonio all'età di 7300 giorni? Quindi faresti lo stesso, ma controlla tutti gli individui di 7300 giorni e guarda chi si sposa prima della fine della giornata. Se è un'età variabile casuale al matrimonio, allora potremmo scrivere secondo la stessa logica di prima.

P (X | Y) = \frac{P (X, Y)}{P (Y)} .

$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$

T

$T$

P (T \leq 7301) | T \geq 7300) = \frac{P (T \in [7300, 7301))}{P (T \geq 7300)}

$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$

Il pericolo sarebbe quindi la probabilità istantanea del matrimonio all'età , per un individuo non sposato. Possiamo scrivere questo come $t$

h (t) d t = P (T \in [t, t + d t) | T \geq t) = \frac{P (T \in [t, t + d t))}{P (T \geq t)}

$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$

— Theodor
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$f(x)$ non è la probabilità di morte, ma la densità di probabilità; il numero previsto di volte in cui muori entro la successiva unità di tempo se la densità di probabilità è rimasta costante durante tale unità di tempo.

Nota che c'è un problema: la tua probabilità di morire quando sei già morto prima è piuttosto problematica. Così ha più senso per calcolare la probabilità di morire condizionale per aver sopravvissuto finora. la probabilità di essere sopravvissuto fino a , dividendo così la densità di probabilità per quella probabilità, ci porterà il numero previsto di volte in cui moriremo entro la prossima unità di tempo a condizione che non sia morto prima. Questa è la percentuale di rischio. $1-F(t)$ $t$

— Maarten Buis
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