Gradiente per la funzione di perdita logistica

Farei una domanda relativa a questa .

Ho trovato un esempio di scrittura della funzione di perdita personalizzata per xgboost qui :

loglossobj <- function(preds, dtrain) {
  # dtrain is the internal format of the training data
  # We extract the labels from the training data
  labels <- getinfo(dtrain, "label")
  # We compute the 1st and 2nd gradient, as grad and hess
  preds <- 1/(1 + exp(-preds))
  grad <- preds - labels
  hess <- preds * (1 - preds)
  # Return the result as a list
  return(list(grad = grad, hess = hess))
}

La funzione di perdita logistica è

l o g (1 + e^{- y P})

$log(1+e^{-yP})$

dove è probabilità di log e è etichette (0 o 1). $P$ $y$

La mia domanda è: come possiamo ottenere un gradiente (prima derivata) semplicemente uguale alla differenza tra valori reali e probabilità previste (calcolati dalle probabilità del registro come preds <- 1/(1 + exp(-preds)))?

— Ogurtsov
fonte

p

$p$

(y - p)^{2}

$(y-p)^2$

p

$p$

p

$p$

P

$P$

(y - f (x))^{2}

$(y-f(x))^2$

f (x) - y

$f(x)-y$

Quando dici il "gradiente", quale gradiente intendi? Il gradiente della perdita? È una semplice relazione matematica che se la derivata di un'espressione è una differenza lineare, allora l'espressione è una differenza quadratica o perdita di errore al quadrato.

— AdamO,

Sì, si tratta solo del gradiente della perdita. È semplice, quando la funzione di perdita è un errore al quadrato. In questo caso la funzione di perdita è la perdita logistica ( en.wikipedia.org/wiki/LogitBoost ) e non riesco a trovare la corrispondenza tra il gradiente di questa funzione e un esempio di codice.

— Ogurtsov,

La mia risposta alla mia domanda: sì, si può dimostrare che il gradiente per la perdita logistica è uguale alla differenza tra valori reali e probabilità previste. Una breve spiegazione è stata trovata qui .

Innanzitutto, la perdita logistica è solo una probabilità logaritmica negativa, quindi possiamo iniziare con un'espressione per verosimiglianza logaritmica ( p. 74 - questa espressione è la verosimiglianza logaritmica, non una verosimiglianza negativa):

L = y_{i} \cdot l o g (p_{i}) + (1 - y_{i}) \cdot l o g (1 - p_{i})

$L=y_{i}\cdot log(p_{i})+(1-y_{i})\cdot log(1-p_{i})$

$p_{i}$ $p_{i}=\frac{1}{1+e^{-\hat{y}_{i}}}$ $\hat{y}_{i}$

L = y_{i} \cdot l o g (\frac{1}{1 + e^{- {\hat{y}}_{i}}}) + (1 - y_{i}) \cdot l o g (\frac{e^{- {\hat{y}}_{i}}}{1 + e^{- {\hat{y}}_{i}}})

$L=y_{i}\cdot log\left(\frac{1}{1+e^{-\hat{y}_{i}}}\right)+(1-y_{i})\cdot log\left(\frac{e^{-\hat{y}_{i}}}{1+e^{-\hat{y}_{i}}}\right)$

Primo derivato ottenuto utilizzando Wolfram Alpha:

L^{'} = \frac{y_{i} - (1 - y_{i}) \cdot e^{{\hat{y}}_{i}}}{1 + e^{{\hat{y}}_{i}}}

${L}'=\frac{y_{i}-(1-y_{i})\cdot e^{\hat{y}_{i}}}{1+e^{\hat{y}_{i}}}$

$\frac{e^{-\hat{y}_{i}}}{e^{-\hat{y}_{i}}}$

L^{'} = \frac{y_{i} \cdot e^{- {\hat{y}}_{i}} + y_{i} - 1}{1 + e^{- {\hat{y}}_{i}}} = \frac{y_{i} \cdot (1 + e^{- {\hat{y}}_{i}})}{1 + e^{- {\hat{y}}_{i}}} - \frac{1}{1 + e^{- {\hat{y}}_{i}}} = y_{i} - p_{i}

${L}'=\frac{y_{i}\cdot e^{-\hat{y}_{i}}+y_{i}-1}{1+e^{-\hat{y}_{i}}}= \frac{y_{i}\cdot (1+e^{-\hat{y}_{i}})}{1+e^{-\hat{y}_{i}}}-\frac{1}{1+e^{-\hat{y}_{i}}}=y_{i}-p_{i}$

Dopo aver cambiato segno abbiamo espressione per il gradiente della funzione di perdita logistica:

p_{i} - y_{i}

$p_{i}-y_{i}$

— Ogurtsov
fonte

\hat{y}

$\hat{y}$

y

$y$

ν

$\nu$

\frac{1}{p_{i} (1 - p_{i})} (y_{i} - p_{i})

$\frac{1}{p_i(1-p_i)}(y_i - p_i)$