Il coefficiente di correlazione del campione è uno stimatore imparziale del coefficiente di correlazione della popolazione?

È vero che $R_{X,Y}$ è uno stimatore imparziale per $\rho_{X,Y}$ ? Cioè,

E [R_{X, Y}] = ρ_{X, Y} ?

$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$

In caso contrario, che cos'è uno stimatore imparziale per ? (Forse c'è uno stimatore imparziale standard che viene utilizzato? Inoltre, è analogo alla varianza del campione imparziale, dove semplicemente facciamo la semplice regolazione della moltiplicazione della varianza del campione distorta per $\rho_{X,Y}$ ?) $\frac{n}{n-1}$

Il coefficiente di correlazione della popolazione è definito come mentre il coefficiente di correlazione del campione è definito come

ρ_{X, Y} = \frac{E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]}{\sqrt{E [{(X - μ_{X})}^{2}]} \sqrt{E [{(Y - μ_{Y})}^{2}]}},

$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$

R_{X, Y} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} .

$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$

correlation

— Kenny LJ
fonte

Una domanda (un po 'simile) sugli stimatori di

ρ

$\rho$

— ttnphns,

La domanda "qual è lo stimatore imparziale" presuppone che ce ne sia uno e che ce ne sia solo uno. A priori , non sembra esserci alcun motivo per pensarlo.

$\qquad$

— Michael Hardy,

@MichaelHardy: l'ho corretto. Grazie per averlo segnalato.

— Kenny LJ,

Mi sono appena imbattuto in questa discussione, e penso che questa potrebbe essere una lettura interessante sciencedirect.com/science/article/pii/S0167715298000352 (non l'ho ancora letto da me tbh)

— mart

stimatore imparziale della varianza minima: projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706717

— Sextus Empiricus

Questa non è una domanda facile ma sono disponibili alcune espressioni. Se stai parlando in particolare della distribuzione normale, allora la risposta è NO ! abbiamo

E \hat{ρ} = ρ [1 - \frac{(1 - ρ^{2})}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}})]

$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$

come visto nel capitolo 2 della teoria della stima del punto di Lehmann. Ci sono infiniti termini nell'espressione sopra, ma essenzialmente stiamo prendendo in considerazione termini di ordine uguale o inferiore a trascurabili. $n^{-2}$

Questa formula mostra che il coefficiente di correlazione del campione è imparziale solo per , cioè l'indipendenza, come ci si aspetterebbe. È anche imparziale per i casi degeneri con , ma questo non è molto interessante. In casi generali, il bias sarà dell'ordine $\rho = 0$ $|\rho| = 1$ ma abbastanza piccolo per tutte le dimensioni del campione ragionevoli. $\frac{1}{n}$

Nelle distribuzioni normali il coefficiente di correlazione del campione è il mle, il che significa che è asintoticamente imparziale. Si può anche vedere che dalla formula di cui sopra come . Si noti che ciò deriva già dal limite e dalla coerenza del coefficiente di correlazione del campione attraverso il teorema di convergenza limitato. $\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$

— Jöhnk
fonte

Potrebbero esserci infiniti termini nell'espressione sopra, ma "termini infiniti" ci sarebbero alcuni termini, ognuno dei quali è infinito.

$\qquad$

— Michael Hardy,

| ρ | = 1

$|\rho| = 1$

| r | \equiv 1

$|r| \equiv 1$

| 1 |

$|1|$

Per una domanda correlata, qualcuno sa se esistono risultati analoghi per altre distribuzioni oltre alla normale 2D?

— Riemann1337,