Cosa si può concludere riguardo ai dati quando la media aritmetica è molto vicina alla media geometrica?

C'è qualcosa di significativo in una media geometrica e media aritmetica che si avvicinano molto, diciamo ~ 0,1%? Quali congetture possono essere fatte su tale set di dati?

Ho lavorato sull'analisi di un set di dati e noto ironicamente che i valori sono molto, molto vicini. Non esatto, ma vicino. Inoltre, un rapido controllo di integrità della disuguaglianza media geometrica media aritmetica e una revisione dell'acquisizione dei dati rivelano che non c'è nulla di sospetto sull'integrità del mio set di dati in termini di come ho trovato i valori.

descriptive-statistics mean geometric-mean

— user12289
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Piccola nota: prima controlla che i tuoi dati siano tutti positivi; un numero pari di valori negativi potrebbe lasciarti con un prodotto positivo e alcuni pacchetti potrebbero non segnalare il potenziale problema (la disuguaglianza AM-GM si basa sul fatto che i valori sono tutti positivi). Vedi ad esempio (in R):x=c(-5,-5,1,2,3,10); prod(x)^(1/length(x))

$\:\quad$ [1] 3.383363 (mentre la media aritmetica è 1)

— Glen_b -Reinstate Monica

Per elaborare il punto di @ Glen_b, un set di dati

{- x, 0, x}

$\{-x,0,x\}$ ha sempre uguale media aritmetica e geometrica, ovvero zero. Tuttavia, possiamo diffondere i tre valori il più lontano possibile.

— Hardmath,

Entrambi i mezzi aritmetici e geometrici hanno la stessa formula generalizzata , con

p = 1

$p=1$ dà il primo e

p \to 0

$p \rightarrow 0$ dà il secondo. Diventa quindi intuitivamente chiaro che i due diventano sempre più vicini l'uno all'altro quando i valori dei dati

x

$x$ sono sempre più tutti uguali, avvicinandosi alla costante.

— ttnphns,

Risposte:

La media aritmetica è correlata alla media geometrica attraverso la disuguaglianza aritmetica-media-geometrica-media (AMGM) che afferma che:

\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}},

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n} n \geq \sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n},$

dove si ottiene l'uguaglianza iff . Quindi probabilmente i tuoi punti dati sono tutti molto vicini tra loro. $x_1=x_2=\cdots=x_n$

— Alex R.
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È giusto. In genere, minore è la varianza dei valori, più vicini sono i due mezzi.

— Michael M,

La varianza dovrebbe essere piccola PER CONFRONTO alle dimensioni delle osservazioni. Quindi è il coefficiente di variazione,

, che dovrebbe essere piccolo.

σ / μ

$\sigma/\mu$

$\qquad$

— Michael Hardy,

AMGM rappresenta qualcosa? Se è così, sarebbe bello averlo spiegato.

— Richard Hardy,

@RichardHardy: AMGM significa 'media aritmetica - media geometrica'

@ user1108, grazie, in realtà, l'ho capito dopo aver letto gli altri post. Penso solo che potrebbe essere spiegato nella risposta (non solo nei commenti).

— Richard Hardy,

Elaborando la risposta di @Alex R, un modo per vedere la disuguaglianza AMGM è come un effetto di disuguaglianza di Jensen. Dalla disuguaglianza di Jensen : Quindi prendi l'esponenziale di entrambi i lati:

\log (\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i}) \geq \frac{1}{n} \sum_{i} \log x_{i}

$\log\left( \frac{1}{n} \sum_i x_i \right) \geq \frac{1}{n} \sum_i \log x_i$

\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i} \geq \exp (\frac{1}{n} \sum_{i} \log x_{i})

$\frac{1}{n} \sum_i x_i \geq \exp\left( \frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

Il lato destro è la media geometrica poiché $\left(x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)^{1/n} = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

Quando regge la disuguaglianza AMGM con quasi uguaglianza? Quando l'effetto di disuguaglianza di Jensen è piccolo. Ciò che guida qui l'effetto di disuguaglianza di Jensen è la concavità, la curvatura del logaritmo. Se i tuoi dati sono diffusi in un'area in cui il logaritmo ha curvatura, l'effetto sarà grande. Se i tuoi dati vengono diffusi in una regione in cui il logaritmo è sostanzialmente affine, l'effetto sarà ridotto.

Ad esempio, se i dati hanno poche variazioni, sono raggruppati insieme in un quartiere sufficientemente piccolo, il logaritmo sembrerà una funzione affine in quella regione (un tema di calcolo è che se si ingrandisce abbastanza su una funzione regolare e continua, quella sembrerà una linea). Per dati sufficientemente vicini tra loro, la media aritmetica dei dati sarà vicina alla media geometrica.

— Matthew Gunn
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Analizziamo l'intervallo di dato che la loro media aritmetica (AM) è un piccolo multiplo della loro media geometrica (GM) (con ). Nella domanda, ma non sappiamo . $x_1\le x_2 \le \cdots \le x_n$ $1+\delta$ $\delta \ge 0$ $\delta\approx 0.001$ $n$

Poiché il rapporto di questi mezzi non cambia quando si cambiano le unità di misura, selezionare un'unità per la quale GM è . Pertanto, cerchiamo di massimizzare soggetto al vincolo che e . $1$ $x_n$ $x_1+x_2+\cdots+x_n = n(1+\delta)$ $x_1\cdot x_2\cdots x_n = 1$

$x_1=x_2=\cdots=x_{n-1}=x$ , say, and $x_n=z \ge x$ . Thus

n (1 + δ) = x_{1} + \dots + x_{n} = (n - 1) x + z

$n(1+\delta) = x_1 + \cdots + x_n = (n-1)x + z$

and

1 = x_{1} \cdot x_{2} \dots x_{n} = x^{n - 1} z .

$1 = x_1\cdot x_2 \cdots x_n = x^{n-1}z.$

The solution $x$ is a root between $0$ and $1$ of

(1 - n) x^{n} + n (1 + δ) x^{n - 1} - 1.

$(1-n)x^n + n(1+\delta)x^{n-1} - 1.$

It is easily found iteratively. Here are the graphs of the optimal $x$ and $z$ as a function of $\delta$ for $n=6, 20, 50, 150$ , left to right:

As soon as $n$ reaches any appreciable size, even a tiny ratio of $1.001$ is consistent with one large outlying $x_n$ (the upper red curves) and a group of tightly clustered $x_i$ (the lower blue curves).

At the other extreme, suppose $n=2k$ is even (for simplicity). The minimum range is achieved when half the $x_i$ equal one value $x \le 1$ and the other half equal another value $z \ge 1$ . Now the solution (which is easily checked) is

x^{k} = 1 + δ \pm \sqrt{δ^{2} + 2 δ} .

$x^k = 1+\delta \pm \sqrt{\delta^2 + 2\delta}.$

For tiny $\delta$ , we may ignore the $\delta^2$ as an approximation and also approximate the $k^\text{th}$ root to first order, giving

x \approx 1 + \frac{δ - \sqrt{2 δ}}{k}; z \approx 1 + \frac{δ + \sqrt{2 δ}}{k} .

$x \approx 1 + \frac{\delta-\sqrt{2\delta}}{k};\ z \approx 1 + \frac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k}.$

The range is approximately $\sqrt{32\delta}/n$ .

In this manner we have obtained upper and lower bounds on the possible range of the data. We have learned that they depend heavily on the amount of data $n$ . The upper bound shows the range can be appreciable even for tiny $\delta$ , thereby improving our sense of just how close to each other the data points really need to be--and placing a lower limit on their range, too.

Similar analyses, just as easily carried out, can inform you--quantitatively--of how tightly clustered the $x_i$ might be in terms of any other measure of spread, such as their variance or coefficient of variation.

— whuber
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On the right of your right hand graph you seem to have

n = 150, δ = 0.002, x \approx 0.9954, z \approx 1.983, k = 75

$n=150, \delta=0.002, x\approx 0.9954, z \approx 1.983, k=75$ . I do not see how these values are near your stated formulae approximations which seem to give

x \approx 0.99918, z \approx 1.00087

$x \approx 0.99918, z\approx 1.00087$ . Perhaps I have misunderstood

— Henry

@Henry I don't know how you came up with those numbers. When

n = 150

$n=150$ , the requirements are that

x^{149} z = 1

$x^{149} z=1$ and

149 x + z = 150 (1.002) = 150.3

$149x + z=150(1.002)=150.3$ . Neither of those comes close to being true for the values you supply. When you plug in

x = 0.995416

$x=0.995416$ and

z = 1.98308

$z=1.98308$ , you get the correct values.

— whuber

I tried what looks to me like your

z \approx 1 + \frac{δ + \sqrt{2 δ}}{k} = 1 + \frac{0.002 + \sqrt{2 \times 0.002}}{75} \approx 1.00087

$z \approx 1 + \dfrac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k} = 1+\dfrac{0.002+\sqrt{2\times 0.002} }{75} \approx 1.00087$ and similarly for

x

$x$ . But now I see this is answering a different question

— Henry

@Henry That solves a different problem: those are the values that give a minimum range. I did not post graphs for those. Indeed, with your

x

$x$ and

z

$z$ we have

75 x + 75 z \approx 150.3

$75x+75z\approx 150.3$ and

x^{75} z^{75} \approx 1

$x^{75}z^{75}\approx 1$ , as required.

— whuber