Come possiamo ottenere una distribuzione normale come

12

Diciamo abbiamo una variabile casuale con un intervallo di valori delimitata da e , dove è il valore minimo e il valore massimo. $a$ $b$ $a$ $b$

Mi è stato detto che come , dove è la dimensione del nostro campione, la distribuzione campionaria dei nostri mezzi campione è una distribuzione normale. Cioè, quando aumentiamo ci avviciniamo sempre più a una distribuzione normale, ma il limite effettivo come è uguale a una distribuzione normale. $n \to \infty$ $n$ $n$ $n \to \infty$

Tuttavia, non fa parte della definizione di distribuzione normale che deve estendersi da a ? $- \infty$ $\infty$

Se il massimo del nostro intervallo è , la media massima del campione (indipendentemente dalla dimensione del campione) sarà uguale a e la media minima del campione uguale a . $b$ $b$ $a$

Quindi mi sembra che, anche se prendiamo il limite per tende all'infinito, la nostra distribuzione non è una effettiva distribuzione normale, perché è delimitata da e . $n$ $a$ $b$

Cosa mi sto perdendo ?

— Jeremy Radcliff
fonte

15

Ecco cosa ti stai perdendo. La distribuzione asintotica non è di (la media del campione), ma di $\bar{X}_n$ , doveè la media di. $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$ $\theta$ $X$

Sia tra variabili casuali tali che e abbiano media e varianza . Quindi ha limitato il supporto. Il CLT afferma che $X_1, X_2, \dots$ $a < X_i <b$ $X_i$ $\theta$ $\sigma^2$ $X_i$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2}),

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$

dove è la media del campione. Adesso $\bar{X}_n$

\begin{aligned} a < & X_{i} < b \\ a < & {\bar{X}}_{n} < b \\ a - θ < & {\bar{X}}_{n} - θ < b - θ \\ \sqrt{n} (a - θ) < & \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) < \sqrt{n} (b - θ) . \end{aligned}

$\begin{align*} a < &X_i <b\\ a < & \bar{X}_n <b\\ a-\theta < &\bar{X}_n - \theta < b - \theta\\ \sqrt{n}(a - \theta) < & \sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) < \sqrt{n}(b - \theta).\\ \end{align*}$

Come , il limite inferiore e il limite superiore tendono rispettivamente a e , e quindi come il supporto di $n \to \infty$ $-\infty$ $\infty$ $n \to \infty$ è esattamente l'intera linea reale. $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$

Ogni volta che usiamo il CLT in pratica, diciamo , e questa sarà sempre un'approssimazione. $\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n)$

EDIT: Penso che parte della confusione derivi dall'errata interpretazione del Teorema del limite centrale. È corretto che la distribuzione campionaria della media campionaria sia

{\bar{X}}_{n} \approx N (θ, σ^{2} / n) .

$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n).$

Tuttavia, la distribuzione del campionamento è una proprietà del campione finita. Come hai detto, vogliamo lasciare ; una volta fatto che il segno sarà un risultato esatto. Tuttavia, se lasciamo , non possiamo più avere una sul lato destro (poiché è ora ). Quindi la seguente affermazione non è corretta $n \to \infty$ $\approx$ $n \to \infty$ $n$ $n$ $\infty$

{\bar{X}}_{n} \overset{d}{\to} N (θ, σ^{2} / n) as n \to \infty .

$\bar{X}_n \overset{d}{\to} N(\theta, \sigma^2/n) \text{ as } n \to \infty.$

$\overset{d}{\to}$ $n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2)$

Per vedere come funziona l'algebra, guarda la risposta qui .

— Greenparker
fonte

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

n \to \infty

$n \to \infty$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

n

$n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

Z

$Z$

@jeremyradcliff Ho modificato la mia risposta e ho incluso un link che spiega alcuni dettagli. Spero che questo abbia più senso ora.

— Greenparker,

1

n

$n$

\infty

$\infty$

7

Se ti riferisci a un teorema del limite centrale, nota che un modo corretto di scriverlo è

$\left( \frac{\bar x - \mu} {\sigma} \right) \sqrt n \rightarrow_d N(0,1)$

$\mu, \sigma$ $x_i$

$n$

$n$ $n$ $n$

$X_i \sim \text{Bern}(p = 0.5)$

$\bar X \dot \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

$n$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) >0$

$n \rightarrow \infty$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) \rightarrow 0$

In tal modo la discrepanza tra la distribuzione effettiva e la distribuzione approssimativa sta scomparendo, come dovrebbe accadere con le approssimazioni.

— Cliff AB
fonte