A è positivamente correlato a B.

C è il risultato di A e B, ma l'effetto di A su C è negativo e l'effetto di B su C è positivo.

Questo può succedere?

Le altre risposte sono davvero meravigliose: forniscono esempi di vita reale.

Voglio spiegare perché questo può accadere nonostante la nostra intuizione del contrario.

Vedi questo geometricamente !

La correlazione è il coseno dell'angolo tra i vettori. In sostanza, stai chiedendo se è possibile quello

• $A$ crea unangoloacutocon$B$ (correlazionepositiva)
• $B$ fa unangoloacutocon$C$ (correlazionepositiva)
• $A$ rende unangoloottusocon$C$ (correlazionenegativa)

Sì, naturalmente:

In questo esempio ( $\rho$ indica correlazione):

• $A=(0.6,0.8)$
• $B=(1,0)$
• $C=(0.6,-0.8)$
• $\rho(A,B)=0.6>0$
• $\rho(B,C)=0.6>0$
• $\rho(A,C)=-0.28<0$

La tua intuizione è giusta!

Tuttavia, la tua sorpresa non è fuori luogo.

L'angolo tra i vettori è una metrica della distanza sulla sfera dell'unità, quindi soddisfa la disuguaglianza del triangolo:

quindi, poiché $\cos \measuredangle AB = \rho(A,B)$ ,

quindi (poiché $\cos$ sta diminuendo su $[0,\pi]$ )

Così,

• se $\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.9$ , quindi $\rho(A,B)\ge 0.62$
• se $\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.95$ , quindi $\rho(A,B)\ge 0.805$
• se $\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.99$ , quindi $\rho(A,B)\ge 0.9602$

Sì, due condizioni simultanee possono avere effetti opposti.

Per esempio:

• Fare affermazioni scandalose (A) è positivamente correlato all'essere divertente (B).
• Fare dichiarazioni scandalose (A) ha un effetto negativo sulle elezioni vincenti (C).
• Essere divertenti (B) ha un effetto positivo sulle elezioni vincenti (C).

Ho sentito questa analogia per auto che si applica bene alla domanda:

• La guida in salita (A) è positivamente correlata al fatto che il conducente salga sul gas (B)
• La guida in salita (A) ha un effetto negativo sulla velocità del veicolo (C)
• Fare un passo sul gas (B) ha un effetto positivo sulla velocità del veicolo (C)

La chiave qui è l'intenzione del guidatore di mantenere una velocità costante (C), quindi la correlazione positiva tra A e B segue naturalmente da tale intenzione. In questo modo puoi costruire infiniti esempi di A, B, C con questa relazione.

L'analogia deriva da un'interpretazione del termostato di Milton Friedman e da un'interessante analisi della politica monetaria e dell'econometria, ma questo è irrilevante per la questione.

Sì, questo è banale da dimostrare con una simulazione:

Simula 2 variabili, A e B che sono correlate positivamente:

> require(MASS)
> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(10,3,3,2),2,2)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0, 2), Sigma))
> names(dt) <- c("A","B")
> cor(dt)

          A         B
A 1.0000000 0.6707593
B 0.6707593 1.0000000

Crea variabile C:

> dt$C <- dt$A - dt$B + rnorm(1000,0,5)

Ecco:

> (lm(C~A+B,data=dt))

Coefficients:
(Intercept)            A            B  
    0.03248      0.98587     -1.05113  

Modifica: in alternativa (come suggerito da Kodiologist), simulando da una normale multivariata tale che $\operatorname{cor}(A,B) > 0$, $\operatorname{cor}(A,C) > 0$ e $\operatorname{cor}(B,C) < 0$

> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(1,0.5,0.5,0.5,1,-0.5,0.5,-0.5,1),3,3)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0,3), Sigma, empirical=TRUE))
> names(dt) <- c("A","B","C")
> cor(dt)
    A    B    C
A 1.0  0.5  0.5
B 0.5  1.0 -0.5
C 0.5 -0.5  1.0

then

Then covariance between C and A could be negative in two conditions:

1. $n>m,\ \left<A,A\right> < \left<B,A\right> (n-m)/n$
2. $n<-m,\ \left<A,A\right> > \left<B,A\right> (n-m)/n$