Regressione sul disco dell'unità a partire da campioni "spaziati uniformemente"

Devo risolvere un complicato problema di regressione sul disco dell'unità. La domanda originale ha attirato alcuni commenti interessanti, ma purtroppo nessuna risposta. Nel frattempo, ho imparato qualcosa in più su questo problema, quindi cercherò di dividere il problema originale in sottoproblemi e vedere se ho più fortuna questa volta.

Ho 40 sensori di temperatura regolarmente distanziati in un anello stretto all'interno del disco dell'unità:

Questi sensori acquisiscono la temperatura nel tempo. Tuttavia, poiché la variazione del tempo è molto più piccola della variazione dello spazio, semplifichiamo il problema ignorando la variabilità temporale e supponiamo che ogni sensore mi dia solo una media temporale. Ciò significa che ho 40 campioni (uno per ciascun sensore) e non ho campioni ripetuti.

$T=f(\rho,\theta)+\epsilon$

1. $T_{mean}=g_1(\rho)+\epsilon$$\theta$
2. $T_{95}=g_2(\rho)+\epsilon$$P(T(\rho)<T_{95}(\rho))=.95$

$\theta$

Una volta scelto il modello, devo scegliere una procedura di stima. Poiché si tratta di un problema di regressione spaziale, è necessario correlare errori in posizioni diverse. I minimi quadrati ordinari presuppongono errori non correlati, quindi immagino che i minimi quadrati generalizzati sarebbero più appropriati. GLS sembra una tecnica statistica relativamente comune, dato che esiste una glsfunzione nella distribuzione R standard. Tuttavia, non ho mai usato GLS e ho dei dubbi. Ad esempio, come posso stimare la matrice di covarianza? Un esempio elaborato, anche con pochi sensori, sarebbe fantastico.

PS Ho scelto di usare i polinomi di Zernike e GLS perché mi sembra la cosa logica da fare qui. Tuttavia non sono un esperto, e se senti che sto andando nella direzione sbagliata, sentiti libero di usare un approccio completamente diverso.

Penso che tu sia sulla buona strada nel pensare a qualcosa come i polinomi di Zernike. Come notato nella risposta da jwimberly, questi sono un esempio di un sistema di funzioni di base ortogonale su un disco. Non ho familiarità con i polinomi di Zernike, ma molte altre famiglie di funzioni ortogonali (comprese le funzioni di Bessel) sorgono naturalmente nella fisica matematica classica come autofunzioni per alcune equazioni differenziali parziali (al momento in cui scrivo, l'animazione in cima a quel link anche mostra un esempio di una testa di tamburo vibrante).

$\theta$

$r$$T_{95}$

In termini di questa seconda domanda, la variabilità dei dati potrebbe effettivamente aiutare con qualsiasi problema di aliasing, consentendo essenzialmente a qualsiasi disallineamento di fare una media delle diverse misurazioni. (Supponendo che nessun pregiudizio sistematico ... ma ciò costituirebbe un problema per qualsiasi metodo, senza ad esempio un modello fisico per fornire maggiori informazioni).

Quindi una possibilità sarebbe quella di definire le funzioni ortogonali spaziali esclusivamente nelle posizioni dei sensori. Queste "Funzioni ortogonali empiriche" possono essere calcolate tramite PCA sulla matrice di dati spazio-temporali. (Forse potresti usare un po 'di ponderazione per tenere conto delle aree di supporto del sensore variabili, ma data la griglia polare uniforme e l'obiettivo delle medie radiali, questo potrebbe non essere necessario.)

Si noti che se v'è alcun dato modellazione fisici disponibili per variazioni "attesa" della temperatura, disponibili su una griglia computazionale spaziotemporale densa, quindi la stessa procedura PCA potrebbe essere applicata a che i dati alle funzioni ortogonali derivazione. (Questo in genere viene chiamato " corretta decomposizione ortogonale " in ingegneria, dove viene utilizzato per la riduzione del modello, ad esempio un costoso modello di fluidodinamica computazionale può essere distillato per l'uso in ulteriori attività di progettazione.)

Un commento finale, se si dovessero ponderare i dati del sensore in base all'area di supporto (ovvero la dimensione delle celle polari), questo sarebbe un tipo di covarianza diagonale, nell'ambito di GLS . (Ciò si applicherebbe maggiormente al problema di previsione, sebbene la PCA ponderata sarebbe strettamente correlata.)

Spero che questo possa essere d'aiuto!

Aggiornamento: il nuovo diagramma della distribuzione del sensore cambia notevolmente le cose a mio avviso. Se si desidera stimare le temperature all'interno del disco, è necessario un precedente molto più informativo rispetto al semplice "set di funzioni ortogonali sul disco dell'unità". Ci sono troppe poche informazioni nei dati del sensore.

Se vuoi davvero stimare la variazione della temperatura spaziale sul disco, l'unico modo ragionevole che posso vedere sarebbe di trattare il problema come uno di assimilazione dei dati . Qui dovresti almeno limitare la forma parametrica della distribuzione spaziale basata su alcune considerazioni basate sulla fisica (queste potrebbero derivare da simulazioni o potrebbero derivare da dati correlati in sistemi con dinamiche simili).

Non so la vostra applicazione particolare, ma se si tratta di qualcosa di simile a questo , quindi immagino ci sia una vasta letteratura di ingegneria che si potrebbe attingere per scegliere appropriati vincoli precedenti. (Per quel tipo di conoscenza dettagliata del dominio, questo non è probabilmente il miglior sito StackExchange su cui chiedere.)

I polinomi di Zernlike non sembrano una cattiva scelta, dal momento che hanno già $r$$\theta$