Perché , ma ?

In questa pagina centrale AP Variabili casuali vs. variabili algebriche , l'autore, Peter Flanagan-Hyde, distingue tra variabili algebriche e casuali.

In parte dice

$x + x = 2x$ , ma $X + X \neq 2X$

- in effetti è il sottotitolo dell'articolo.

Qual è la differenza di base tra una variabile algebrica e una variabile casuale?

Quindi, affrontiamo prima questa domanda: '' Qual è la differenza di base tra una variabile algebrica e una variabile casuale? ''

Una variabile casuale non è affatto una variabile algebrica. Formalmente, è definito come una funzione da uno spazio di probabilità Ω per R .$X$$\Omega$$\mathbb R$

OK ... Ciò significa che esegui esperimenti casuali (ad es. Lanciando un dado, scegliendo un essere umano casuale) e prendi misure su questi esperimenti (ad es. Numero sulla faccia superiore dei dadi, altezza, sesso, livello di colesterolo nell'uomo ). L'insieme è l'insieme di tutti i possibili esperimenti. Su un particolare esperimento ω ∈ Ω , si effettua una misura X ( ω ) : è per questo che formalmente si tratta di una funzione da Ω a R .$\Omega$$\omega\in\Omega$$X(\omega)$$\Omega$$\mathbb R$

Ora in generale ci dimentichiamo totalmente di . Le variabili casuali sono definite in base alla loro legge di probabilità. Nel caso di un dado giusto, basta dire$\Omega$

• perk=1,…,6(la probabilità diXpari akè 1/6 perkda 1 a 6),$\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$$k=1,\dots,6$$X$$k$$k$

invece di

• (la serie di dadi lancia su cui la misura X - faccia superiore - è k ha probabilità 1/6) ...$\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$$X$$k$

È più semplice Puoi addirittura evitare di disturbare gli studenti con .$\Omega$

Spero che questo illumini una specie di luce.

Ora, cosa intende questo ragazzo con non è che la somma di una tale misura con se stessa non è il doppio di questa misura - sfortunatamente, è ciò che scrive. Ciò che intende è che la somma di due di tali misure, eseguite su esperimenti diversi, non ha la stessa legge di due volte una misura. Questo potrebbe essere scritto come X 1 ∼ X 2 ⇏ X 1 + X 2 ∼ 2 X 1 (il fatto che X 1 e abbiano la stessa distribuzione non implica che$X + X \ne 2X$$X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$$X_1$X 1 + X 2 2 X $X_2$$X_1 + X_2$ha la stessa distribuzione di ).$2 X_1$

[Una versione precedente della domanda chiedeva una risposta che evitasse completamente la matematica; questa risposta è stata un tentativo di dare una motivazione intuitiva, a un livello simile a quello del documento richiesto.]

La pagina collegata è sbagliato quando si dice che .$X+X\neq 2X$

Nell'esempio è una variabile casuale che rappresenta il numero che appare sulla faccia di un dado - il risultato di un esperimento come "tira una volta un dado a sei facce e registra il numero sulla faccia di un dado".$X$

Quindi tira un dado e scrivi ciò che hai visto. Qualunque numero tu voglia registrare è ... quindi X + X rappresenta il risultato aggiunto a se stesso. Se tiri un altro dado, quel numero che avresti scritto prima non cambierà.$X$$X+X$

Più avanti nella pagina si dice:

Quando vengono lanciati due dadi, i risultati sono diversi. Chiama la variabile casuale che rappresenta i risultati del processo a due dadi (per "due"). Potremmo scrivere T = X + X . Questa equazione rappresenta il fatto che T è il risultato di due istanze indipendenti della variabile casuale $T$$T = X + X$$T$$T$

La fine stessa di quella citazione è presumibilmente un errore tipografico, significano non T lì (dal momento che se fosse T hanno appena detto che T era il risultato di due istanze di se stesso). Ma con quella sostituzione è ancora errato.$X$$T$$T$$T$

Se hai due istanze indipendenti dell'esperimento (tira un dado, registra il numero che mostra) hai a che fare con due diverse variabili casuali.

Quindi immagina di avere un dado rosso e un dado blu. Quindi posso dire "Lascia che il risultato sul dado rosso sia e il risultato sul dado blu sia X 2 ". Quindi possiamo seguire l'esempio in quella pagina collegata definendo T come la somma dei numeri mostrati su quei due dadi, quindi T = X 1 + X 2 . Se il dado e il processo di lancio del dado sono equi, la distribuzione di X 1 e X 2 è la stessa, ma X 1 e X 2 - le variabili casuali - sono distinti.$X_1$$X_2$$T$$T=X_1+X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$

[C'è un'eccellente discussione da parte di whuber di variabili casuali (e loro somme) qui , e il concetto di variabili casuali è trattato in modo leggermente più dettagliato (se in luoghi più tecnici) qui . Ti consiglio almeno di leggere la risposta al primo link.]

Questo problema si è verificato perché l'autore ha confuso la variabile casuale con la sua distribuzione. Puoi vederlo qui:

In questo caso, gli studenti pensano che la variabile casuale X rappresenti un singolo valore sconosciuto, allo stesso modo in cui pensano alle variabili algebriche. Ma X si riferisce davvero alla distribuzione di possibili valori e alle probabilità associate.

Confonde esplicitamente la variabile casuale con la sua distribuzione.

$X+X$$2X$

$T = X + X$$T = X + Y$$X$$Y$

$X$$X$$one$

$X+X=2X$