Due quantili di una distribuzione beta determinano i suoi parametri?

Se do due quantili e le loro posizioni corrispondenti (ciascuno) nell'intervallo aperto , posso sempre trovare i parametri di una distribuzione beta che ha quei quantili in le posizioni specificate? $(q_1,q_2)$ $(l_1,l_2)$ $(0,1)$

quantiles curve-fitting beta-distribution

— Bota
fonte

No, controesempio di base (q1, q2) = (0,1) e (l1, l2) = (0,1) indipendentemente dai parametri.

— Tim

@Tim Penso di vedere il tuo punto, ma il tuo controesempio non soddisfa le condizioni che ho specificato (ad esempio che le posizioni sono nell'intervallo aperto

(0, 1)

$(0,1)$

— Bota,

Penso che tu possa farlo numericamente (e che ci sarà una soluzione unica), ma comporterebbe un piccolo sforzo.

— Glen_b -Restate Monica

Penso anche io: la risoluzione numerica non è difficile, ma non è facile trovare un argomento per l'unicità.

— Elvis,

@Elvis in realtà, sospetto che potrebbe esserci un modo per farlo guardando i logit di entrambe le variabili (i PO

l

$l$

q

$q$

— Glen_b -Restate Monica

La risposta è sì, a condizione che i dati soddisfino ovvi requisiti di coerenza. L'argomento è semplice, basato su una costruzione semplice, ma richiede un po 'di installazione. Si tratta di un fatto intuitivamente accattivante: aumentare il parametro $a$ in un Beta $(a,b)$ la distribuzione aumenta il valore della sua densità (PDF) di più per grandi $x$ di minori $x$ ; e aumentando $b$ fa il contrario: più piccola è $x$ , più aumenta il valore del PDF.

I dettagli seguono.

Lascia che il quantile $q_1$ desiderato sia $x_1$ e il quantile $q_2$ desiderato sia $x_2$ con $1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$ e (quindi) $1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$ . Quindi ci sono $a$ e $b$ unici per i quali la distribuzione Beta $(a,b)$ ha questi quantili.

La difficoltà nel dimostrarlo è che la distribuzione Beta comporta una costante normalizzante recalcitrante. Ricordiamo la definizione: per $a\gt 0$ e $b \gt 0$ , il Beta $(a,b)$ la distribuzione ha una funzione di densità (PDF)

f (x; a, b) = \frac{1}{B (a, b)} x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} .

$f(x;a,b) = \frac{1}{B(a,b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}.$

La costante normalizzante è la funzione Beta

B (a, b) = \int_{0}^{1} x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} d x = \frac{Γ (a) Γ (b)}{Γ (a + b)} .

$B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,\mathrm{d}x = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$

Tutto diventa disordinato se cerchiamo di differenziare $f(x;a,b)$ direttamente rispetto ad $a$ e $b$ , che sarebbe il modo forza bruta per tentare una dimostrazione.

Un modo per evitare di dover analizzare la funzione Beta è notare che i quantili sono aree relative . Questo è,

q_{i} = F (x_{i}; a, b) = \frac{\int_{0}^{x_{i}} f (x; a, b) d x}{\int_{0}^{1} f (x; a, b) d x}

$q_i = F(x_i;a,b)=\frac{\int_0^{x_i} f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}$

per $i=1,2$ . Qui, per esempio, sono il PDF e funzione di distribuzione cumulativa (CDF) $F$ di una Beta $(1.15, 0.57)$ distribuzione per la quale $x_1=1/3$ e $q_1=1/6$ .

$x\to f(x;a,b)$ $q_1$ $x_1$ $q_2$ $x_2$ $(x_1,q_1)$ $(x_2,q_2)$

$(x_1,q_1)$ $(1/3,1/6)$ $a$ $1.15$ $b$ $(x_1,q_1)$ $(a,b)$

$b$

$(x_1, q_1)$ $x_1$ $q_1$ $a\gt 0$ $b$ $b(a),$ $x_1$ $q_1$ $(a,b(a))$ distribuzione.

$b$ $0$ $F(x_1;a,b)$ $1$ $b$ $1$ $F(x_1;a,b)$ $0$ $b\to F(x_1;a,b)$ $b$

$x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$ $b^\prime \gt b$ $(1-x)^{b^\prime-b}$ $1$ $x=0,$ $0$ $x=1.$ $x\to f(x;a,b^\prime)$ $x\to f(x;a,b)$ $x$ $x_1$ $x$ $x_1.$ $x_1$ $x_1.$

$b\to f(x_1;a,b)$ $0$ $1$ $b\to 0$ $b\to\infty,$ $b(a)$ $f(x_1;a,b(a))=q_1$ e quel numero è unico, a dimostrazione del lemma.

$b$ $x_2$ $f(x_2;a, b(a))$ $a$ $0$ $\infty.$ $f(x_2;a,b(a))$ $a\to 0$ $q_1.$

$a$ $0$ $0.1$ $x_1=1/3$ $q_1=1/6$ $b(a) \approx 0.02.$ $x_1$ $x_2:$

$x_1$ $x_2,$ $q_2$ $q_1.$ $a\to 0$ $q_2 \to q_1.$

$a$ $F(x_2;a,b(a))$ $1.$ $(x_1,q_1)$

$a=8$ $b(a)$ $10.$ $F(x_2;a,b(a))$ $1:$ $x_2.$

$q_2$ $q_1$ $1$ $a$ $F(x_2;a,a(b))=q_2.$ $a$

R $\alpha$ $\beta$

— whuber
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a

$a$

b

$b$

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

[x_{1}, x_{2}]

$[x_1,x_2]$

[x_{2}, 1]

$[x_2,1]$

α

$\alpha$

β

$\beta$

α

$\alpha$

β

$\beta$