Diverse trasformazioni di densità di probabilità dovute al fattore giacobino

In Bishop's Pattern Recognition and Machine Learning ho letto quanto segue, subito dopo l' introduzione della densità di probabilità :$p(x\in(a,b))=\int_a^bp(x)\textrm{d}x$

Sotto un cambiamento non lineare di variabile, una densità di probabilità si trasforma in modo diverso da una semplice funzione, a causa del fattore giacobino. Ad esempio, se consideriamo un cambiamento di variabili , allora una funzione diventa . Consideriamo ora una densità di probabilità che corrisponde a una densità rispetto alla nuova variabile , dove i suffissi indicano il fatto che e sono densità diverse. Le osservazioni che rientrano nell'intervallo , per piccoli valori di , verranno trasformate nell'intervallo$x = g(y)$$f(x)$$\tilde{f}(y) = f(g(y))$$p_x(x)$$p_y(y)$$y$$p_x(x)$$p_y(y)$$(x, x + \delta x)$$\delta x$$(y, y + \delta y$ ) dove , e quindi.$p_x(x)\delta x \simeq p_y(y)δy$$p_y(y) = p_x(x) |\frac{dx}{dy}| = p_x(g(y)) | g\prime (y) |$

Qual è il fattore giacobino e cosa significa esattamente tutto (forse qualitativamente)? Bishop afferma che una conseguenza di questa proprietà è che il concetto del massimo di una densità di probabilità dipende dalla scelta della variabile. Cosa significa questo?

Per me questo viene tutto fuori dal nulla (considerando che è nel capitolo introduttivo). Apprezzerei alcuni suggerimenti, grazie!

Ti suggerisco di leggere la soluzione della domanda 1.4 che fornisce una buona intuizione.

In poche parole, se si dispone di una funzione arbitraria e due variabili ed che sono collegati tra loro mediante la funzione , allora si può trovare il massimo della funzione sia analizzando direttamente : o la funzione trasformata : . Non sorprende, e saranno correlati a ciascuno come (qui ho assunto che .x y x = g ( y ) f ( x ) x = a r g m una x x ( f ( x ) ) f ( g ( y ) ) y = a r g m una x y ( f ( g ( y ) ) x $f(x)$$x$$y$$x = g(y)$$f(x)$$\hat{x} = argmax_x(f(x))$$f(g(y))$$\hat{y} = argmax_y(f(g(y))$$\hat{x}$$\hat{y}$∀y:g'(y)≠0$\hat{x} = g(\hat{y})$$\forall{y}: g^\prime(y)\neq0)$

Questo non è il caso delle distribuzioni di probabilità. Se hai una distribuzione di probabilità e due variabili casuali correlate tra loro da . Quindi non esiste una relazione diretta tra e . Ciò accade a causa del fattore giacobino, un fattore che mostra come il volum è relativamente cambiato da una funzione come .x = g ( y ) x = a r g m una x x ( p x ( x ) ) y = a r g m una x y ( p y ( y ) ) g ( . $p_x(x)$$x=g(y)$$\hat{x} = argmax_x(p_x(x))$$\hat{y}=argmax_y(p_y(y))$$g(.)$