Qual è la formula per il valore p corretto di Benjamini-Hochberg?

Capisco la procedura e ciò che controlla. Quindi qual è la formula per il valore p corretto nella procedura BH per confronti multipli?

Proprio ora ho capito che il BH originale non produceva valori p regolati, ma solo le condizioni di (non) rifiuto: https://www.jstor.org/stable/2346101 . Gordon Smyth ha introdotto comunque i valori p di BH modificati nel 2002, quindi la domanda è ancora valida. È implementato in R come p.adjustcon il metodo BH.

— Firebug
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Il famoso seminario Benjamini & Hochberg (1995) descriveva la procedura per accettare / rifiutare le ipotesi sulla base della regolazione dei livelli alfa. Questa procedura ha una semplice riformulazione equivalente in termini di valori $p$ adeguati, ma non è stata discussa nel documento originale. Secondo Gordon Smyth , ha introdotto valori $p$ adattati nel 2002 durante l'implementazione p.adjustin R. Sfortunatamente, non esiste una citazione corrispondente, quindi non mi è sempre stato chiaro cosa si dovrebbe citare se si utilizzano valori $p$ regolati da BH.

Si scopre che la procedura è descritta nel Benjamini, Heller, Yekutieli (2009) :

Un modo alternativo di presentare i risultati di questa procedura è presentare i valori $p$ adeguati. I valori $p$ regolati da BH sono definiti come
$p_{(i)}^{B H} = min {min_{j \geq i} {\frac{m p_{(j)}}{j}}, 1} .$ $p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$

Questa formula sembra più complicata di quanto non sia in realtà. Dice:

Per prima cosa, ordina tutto $p$ valori da piccoli a grandi. Quindi moltiplicare ciascun valore $p$ per il numero totale di test $m$ dividere per il suo ordine di classificazione.
In secondo luogo, assicurarsi che la sequenza risultante non sia decrescente: se mai inizia a diminuire, rendere il valore $p$ precedente uguale al successivo (ripetutamente, fino a quando l'intera sequenza diventa non decrescente).
Se qualche valore $p$ finisce per essere maggiore di 1, rendilo uguale a 1.

Questa è una semplice riformulazione della procedura BH originale dal 1995. Potrebbe esistere un documento precedente che ha introdotto esplicitamente il concetto di valori $p$ aggiustati per BH, ma non ne sono a conoscenza.

Aggiornare.@Zenit ha scoperto che Yekutieli e Benjamini (1999) hanno descritto la stessa cosa già nel 1999:

— ameba dice Reinstate Monica
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Questa è la risposta che mi aspettavo, +1. Ricordo di aver letto dell'implementazione di Gordon Smyth del valore p corretto e di non sapere chi citare, bello vedere che c'è una citazione "canonica" in questo.

— Firebug

Credo che esista un riferimento ancora precedente: Yekutieli e Benjamini (1999) (versione pdf disponibile qui ). La definizione 2.4 descrive come la procedura FDR originale del 1995 può essere riformulata in termini di valori p adeguati. Ringrazio questo post sul blog dove ho scoperto questo.

— Zenit,

@Zenit Oh wow! Grande scoperta! Dovrei aggiornare la mia risposta.

— ameba dice che ripristini Monica il

Grazie per la fonte @Zenit! È leggermente strano come un metodo statistico così onnipresente non abbia un riferimento ben noto.

— Firebug,

$p_0$ $p$ $z_0$ $N_0$ $\le$ $p_0$ $N$

$\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$
$\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

Ora capiamo questo. L'idea alla base (bayesiana) è che le osservazioni provengono da una miscela di due distribuzioni:

$\pi_0 \: N$ $f_0(z)$
$(1-\pi_0) \: N$ $f_1(z)$

Ciò che si osserva è la miscela di quei due:

$f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

Le definizioni (bayesiane) sono:

$\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$
$\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$ (una frazione della densità della coda)

$\pi_0 \approx 1$

(Basato sull'inferenza statistica dell'era informatica di Efron e Tibshirani )

— Aditya
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