Che cos'è un campione di una variabile casuale?

La variabile casuale è definita come una funzione misurabile da un -algebra con la misura sottostante ad un altro -algebra .σ ( Ω 1 , F 1 ) P σ ( Ω 2 , F 2$X$$\sigma$$(\Omega_1, \mathcal F_1)$$P$$\sigma$$(\Omega_2, \mathcal F_2)$

Come parliamo di un esempio di questa variabile casuale? Lo trattiamo come un elemento di ? O come la stessa funzione misurabile di ?Ω 2$X^n$$\Omega_2$$X$

Dove posso leggere di più al riguardo?

Esempio:

Nella stima di Monte Carlo, dimostriamo l'imparzialità dello stimatore considerando i campioni come funzioni. Se un'aspettativa di una variabile casuale è definita come$(X^n)_{n = 1}^N$$X$

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

e supponendo che siano funzioni e , possiamo procedere come segue:X n = $X^n$$X^n = X$

$$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$$

Se fosse solo un elemento di , non avremmo potuto scrivere l'ultima serie di equazioni.Ω $X^n$$\Omega_2$

Un campione è una funzione misurabile da Ω 1 a Ω N 2 . Una realizzazione di questo esempio è il valore assunto dalla funzione in ω ∈ Ω 1 , ( x 1 , … , x N ) = ( X 1 ( ω ) , … , X N ( ω ) ) .$(X^1,\ldots,X^N)$$\Omega_1$$\Omega_2^N$$\omega\in\Omega_1$$(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

Quando si afferma

supponendo che siano funzioni e X n = $X^n$$X^n=X$

Le funzioni sono tutte funzioni diverse, il che significa che le immagini X 1 ( ω ) , … , X N ( ω ) possono essere diverse per un dato ω . Quando il campione è iid (indipendente e distribuito in modo identico), le funzioni X n sono diverse con altre due proprietà$X^n$$X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$$\omega$$X^n$

1. distribuzione identica, nel senso che per tutti gli insiemi misurabili A in F 2 ;$\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$$A$$\mathcal{F}_2$
2. indipendenza, nel senso che per tutti gli insiemi misurabili A 1 , … , A N in F$\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$$A^1,\ldots,A^N$$\mathcal{F}_2$

La tua definizione

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$$

non è corretto: dovrebbe essere

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

Il campione può essere prelevato dalla popolazione , non da una variabile casuale. "Campione di variabili casuali" è un modo semplificato per dire che abbiamo un campione estratto dalla popolazione, che assumiamo essere n variabili casuali distribuite in modo identico. Quindi un tale esempio si comporta come n variabili casuali. È ambiguo perché mescola la terminologia utilizzata in probabilità e statistica. Lo stesso con la simulazione, in cui i campioni vengono estratti dalla distribuzione comune . In entrambi i casi il campione è i dati$n$$n$$n$hai. I campioni sono considerati variabili casuali perché i processi casuali portano a disegnarli. Sono distribuiti in modo identico poiché provengono da una distribuzione comune. Per trattare i campioni abbiamo delle statistiche, mentre le statistiche usano una descrizione matematica e astratta dei suoi problemi in termini di teoria della probabilità, quindi la terminologia è mista. Le variabili casuali sono funzioni che assegnano probabilità agli eventi che possono essere riscontrati nei campioni.