Lasciate $a_t$ e $b_t$ essere processi di rumore bianco. Possiamo dire che è necessariamente un processo di rumore bianco?$c_t=a_t+b_t$

No, hai bisogno di altro (almeno secondo la definizione di rumore bianco di Hayashi). Ad esempio, la somma di due processi indipendenti di rumore bianco è il rumore bianco.

Perché $a_t$ e $b_t$ rumore bianco insufficiente per $a_t+b_t$ di essere rumore bianco?

Dopo l' econometria di Hayashi , un processo stazionario di covarianza $\{z_t\}$ è definito come rumore bianco se $\mathrm{E}[z_t] = 0$ e $\mathrm{Cov}\left(z_t, z_{t-j} \right) = 0$ per $j \neq 0$ .

Sia e { b t } processi di rumore bianco. Definisci c t = a t + b t . In pratica abbiamo E [ c t ] = 0 . Verifica delle condizioni di covarianza:$\{a_t\}$$\{b_t\}$$c_t = a_t + b_t$$\mathrm{E}[c_t] = 0$

Applicando che{at}e{

Quindi, se è rumore bianco dipende dal fatto che C o v ( a t , b t - j ) + C o v ( b t , a t - j ) = 0 per tutto j ≠ 0 .$\{c_t\}$$\mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) = 0$$j\neq 0$

Esempio in cui la somma di due processi di rumore bianco non è rumore bianco:

Lasciate sia rumore bianco. Sia b t = a t - 1 . Osservare che il processo { b t } è anche rumore bianco. Sia c t = a t + b t , quindi c t = a t + a t - 1 , e osserva che il processo { c t } non è rumore bianco.$\{a_t\}$$b_t = a_{t-1}$$\{b_t\}$$c_t = a_t + b_t$$c_t = a_t + a_{t-1}$$\{c_t\}$

Ancora più semplice della risposta di @ MatthewGunn,

Considera . Ovviamente c t ≡ 0 non è rumore bianco - sarebbe difficile chiamarlo qualsiasi tipo di rumore.$b_t = -a_t$$c_t \equiv 0$

Il punto più ampio è, se non si sa nulla circa la distribuzione congiunta di e b t , non saremo in grado di dire cosa succede quando cerchiamo di esaminare gli oggetti che dipendono da ciascuno di essi. La struttura della covarianza è essenziale a tal fine.$a_t$$b_t$

Addendum:

Naturalmente, questo è esattamente lo scopo delle cuffie con cancellazione del rumore! - per invertire la frequenza dei rumori esterni e cancellarli - quindi, tornando alla definizione fisica del rumore bianco, questa sequenza è un silenzio letterale . Nessun rumore.

Nell'elettronica, il rumore bianco è definito come avente uno spettro di frequenza piatta ("bianco") e casuale ("rumore"). Il rumore in generale può essere contrastato con l '"interferenza", uno o più segnali indesiderati raccolti da altrove e aggiunti al segnale di interesse, e "distorsione", segnali indesiderati generati da processi non lineari che agiscono sul segnale di interesse stesso.

Mentre è possibile che due segnali diversi abbiano parti correlate e quindi si annullino in modo diverso a frequenze diverse o in momenti diversi, ad esempio annullando completamente su una determinata banda di frequenze o durante un certo intervallo di tempo, ma quindi non annullando, o anche aggiungendo costruttivamente su un'altra banda di frequenze o durante un certo intervallo di tempo, la correlazione tra i due segnali presuppone una correlazione, che è preclusa dall'aspetto presumibilmente casuale del "rumore", che è ciò di cui si è chiesto.

Se, in effetti, i segnali sono "rumore" e quindi indipendenti e casuali, allora tali correlazioni non dovrebbero / esisterebbero, quindi sommandole insieme avranno anche uno spettro di frequenza piatto e quindi saranno anche bianche.

Inoltre, banalmente, se i rumori sono esattamente anti-correlati, potrebbero annullarsi per dare sempre zero in uscita, che ha anche uno spettro di frequenza piatta, potenza zero a tutte le frequenze, che potrebbe rientrare in una sorta di definizione degenerata di bianco rumore, tranne che non è casuale e può essere perfettamente previsto.

Il rumore nell'elettronica può provenire da diversi luoghi. Ad esempio, il rumore di sparo, derivante dall'arrivo casuale di elettroni in una fotocorrente (proveniente dai tempi di arrivo casuali dei fotoni), e il rumore di Johnson, proveniente dal moto browniano degli elettroni in un elemento resistivo più caldo dello zero assoluto, producono entrambi bianco rumore, sebbene, sempre con una larghezza di banda finita ad entrambe le estremità dello spettro in qualsiasi sistema reale misurato per un periodo di tempo finito.

se entrambi i suoni di rumore bianco viaggiano nella stessa direzione E se la loro frequenza è in fase abbinata, solo loro vengono aggiunti. Ma una cosa di cui non sono sicuro è che dopo l'aggiunta rimarrà un rumore bianco o diventerà un altro tipo di suono con frequenza diversa.