Qual è la differenza tra variabile casuale e campione casuale?

Queste due espressioni mi hanno confuso molto quando stavo imparando le statistiche. Mi sembra che siano cose totalmente diverse.

Un campione casuale consiste nel prelevare in modo casuale un campione da una popolazione, mentre una variabile casuale è come una funzione che mappa l'insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento su un numero reale.

Tuttavia, dire se disegno alcuni campioni , , e , dove e sono sconosciuti, sono , , campioni casuali o variabili casuali?$X_1$$X_2$$X_3$$X_i \sim N(\mu,\sigma^2)$$\mu$$\sigma$$X_1$$X_2$$X_3$

Sì, una variabile casuale , , è una funzione dallo spazio del campione alla linea reale. Questa è una formula deterministica che può essere semplice come scrivere il numero su cui un dado atterra nell'esperimento casuale di lancio di un dado. L'esperimento è casuale, nel modo in cui non controlliamo molti dei fattori fisici che ne determinano il risultato; tuttavia, non appena il dado atterra la variabile casuale mappa il risultato nel mondo fisico su un numero.$X:\Omega \rightarrow \mathbb R$

Altri esempi potrebbero includere la misurazione dell'altezza di un campione di otto selezionatori, forse per inferire i parametri della popolazione (compresi media e varianza). Ogni ragazzo o ragazza sarebbe un esperimento casuale, più o meno come lanciare una moneta. Tuttavia, una volta selezionato un soggetto, l'effettiva mappatura su un numero in pollici o centimetri non è soggetta a casualità, nonostante il nome di "variabile casuale".

Un gruppo di tali esperimenti costituirebbe un campione :

In statistica, un semplice campione casuale è un sottoinsieme di individui (un campione) scelti da un insieme più ampio (una popolazione). Ogni individuo viene scelto casualmente e interamente per caso, in modo tale che ogni individuo abbia la stessa probabilità di essere scelto in qualsiasi fase durante il processo di campionamento e ogni sottoinsieme di individui abbia la stessa probabilità di essere scelto per il campione di qualsiasi altro sottoinsieme di individui.$k$$k$

che nell'OP siano un campione di una distribuzione normale (anche se non l'hai , penso che fosse l'intenzione), e ognuno degli è una realizzazione di la variabile casuale.$\{X_1, X_2, X_3\}$$X_i$

Ecco un post identico su Quora e un post parallelo su Math SE .

Inoltre, consiglio vivamente la serie di conferenze della professoressa Krishna Jagannathan dell'IIT. Si è laureato al MIT e ha le serie più accessibili online sulla probabilità che introducono delicatamente la teoria della misura. Meraviglioso!

Nell'esempio del PO, ciascun campione casuale è un'osservazione della stessa variabile casuale . Quindi un campione casuale è un'osservazione di una variabile casuale. La variabile casuale è una funzione che associa lo spazio di campionamento a numeri reali. $X_i$$X$