Qual è la probabilità di pescare un quattro di un tipo quando 20 carte vengono pescate da un mazzo di 52?

Ieri i miei coinquilini e io stavamo giocando a carte e qualcuno ha fatto questa domanda. Abbiamo cercato di risolvere il problema, ma non siamo riusciti a capirlo. Stamattina mi sono svegliato e mi chiedo ancora come risolverlo. Mi aiuti per favore?

Esistono 13 tipi, quindi possiamo risolvere il problema per un singolo tipo e quindi andare avanti da lì.

La domanda allora è: qual è la probabilità di trarre 4 successi (come i re) in 20 campioni dalla stessa distribuzione di 4 successi (re) e 48 fallimenti senza sostituzione?

La distribuzione ipergeometrica (wikipedia) ci dà la risposta a questa domanda ed è dell'1,8%.

Se un amico scommette su come ottenere 4 re, e un altro su come ottenere quattro regine, entrambi hanno l'1,8% di possibilità di vincere. Dobbiamo sapere quanto si sovrappongono le due scommesse per dire qual è la probabilità che almeno una di esse sia vincente.

La sovrapposizione di entrambe le vincite è simile alla prima domanda, vale a dire: qual è la probabilità di trarre 8 successi (re e regine) in 20 campioni da una distribuzione di 8 successi (re e regine) e 44 fallimenti, senza sostituzione?

La risposta è di nuovo ipegeometrica e secondo il mio calcolo è dello 0,017%.

Quindi la probabilità che almeno uno dei due amici vinca è dell'1,8% + 1,8% - 0,017% = 3,6%

Nel continuare questa linea di ragionamento, la parte facile sta sommando le probabilità per i singoli tipi (13 * 1,8% = 23,4%), e la parte difficile è capire quanto tutti questi 13 scenari si sovrappongano.

La probabilità di ottenere 4 re o 4 regine o 4 assi è la somma di ottenere ogni quattro di un tipo meno la loro sovrapposizione. La sovrapposizione consiste nell'ottenere 4 re e 4 regine (ma non 4 assi), ottenere 4 re e 4 assi (ma non 4 regine), ottenere 4 regine e 4 assi (ma non 4 re) e ottenere 4 re e 4 regine e 4 assi.

È qui che diventa troppo peloso per continuare, ma procedendo in questo modo con la formula ipergeometrica su Wikipedia, puoi andare avanti e scrivere tutto.

Forse qualcuno può aiutarci a ridurre il problema?

$k$$4k$$4k$$52.$$\binom{13}{k}$$k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$$0\leq k\leq5.$

Secondo il principio di inclusione-esclusione, la probabilità di estrarre almeno un quadrilatero è quindi uguale a

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

$0.2197706.$

$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$