Perché lo stimatore OLS del coefficiente AR (1) è distorto?

Sto cercando di capire perché OLS fornisce uno stimatore distorto di un processo AR (1). Prendi in considerazione In questo modello, viene violata una rigorosa esogeneità, ovvero e sono correlati ma e non sono correlati. Ma se questo è vero, perché non vale la seguente derivazione semplice?

\begin{aligned} y_{t} & = α + β y_{t - 1} + ε_{t}, \\ ε_{t} & \overset{io io d}{~} N (0, 1) . \end{aligned}

$\begin{aligned} y_{t} &= \alpha + \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}, \\ \epsilon_{t} &\stackrel{iid}{\sim} N(0,1). \end{aligned}$

y_{t}

$y_t$

ϵ_{t}

$\epsilon_t$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

ϵ_{t}

$\epsilon_t$

\begin{aligned} plim \hat{β} & = \frac{Cov (y_{t}, y_{t - 1})}{Var (y_{t - 1})} \\ = \frac{Cov (α + β y_{t - 1} + ε_{t}, y_{t - 1})}{Var (y_{t - 1})} \\ = β + \frac{Cov (ε_{t}, y_{t - 1})}{Var (y_{t - 1})} \\ = β . \end{aligned}

$\begin{aligned} \text{plim} \ \hat{\beta} &= \frac{\text{Cov}(y_{t},y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\frac{\text{Cov}(\alpha + \beta y_{t-1}+\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &= \beta+ \frac{\text{Cov}(\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\beta. \end{aligned}$

— Florestan
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Ci sono state alcune domande correlate a Cross Validated. Potresti trarre vantaggio dal cercarli.

— Richard Hardy,

Li ho visti, ma non mi hanno davvero aiutato. Ho trovato una prova e simulazioni che mostrano questo risultato. Ciò che mi interessa è ciò che è sbagliato nel mio ragionamento sopra.

— Florestan,

Quando usi , non stai affrontando la coerenza piuttosto che la (non) polarizzazione? Per (un) pregiudizio dovresti usare le aspettative.

plim

$\text{plim}$

— Richard Hardy,

Hai perfettamente ragione, questo potrebbe risolvere il puzzle. Quindi, se l'equazione di cui sopra non regge senza un plim, allora non contraddirebbe la polarizzazione di OLS in piccoli campioni e mostrerebbe la coerenza di OLS allo stesso tempo. Anche se non sono un po 'sicuro: questa covarianza sulla formula della varianza vale davvero solo per il plim e non anche nelle aspettative? Grazie mille già!

— Florestan,

Lo stesso stimatore OLS non comporta alcun s, dovresti solo guardare le aspettative in campioni finiti.

plim

$\text{plim}$

— Richard Hardy,

Risposte:

Come sostanzialmente discusso nei commenti, l'imparzialità è una proprietà del campione finita, e se contenuta sarebbe espressa come

E (\hat{β}) = β

$E (\hat \beta ) = \beta$

(dove il valore atteso è il primo momento della distribuzione del campione finito)

mentre la coerenza è una proprietà asintotica espressa come

plim \hat{β} = β

$\text{plim} \hat \beta = \beta$

L'OP mostra che sebbene OLS in questo contesto sia distorto, è comunque coerente.

E (\hat{β}) \neq β ma plim \hat{β} = β

$E (\hat \beta ) \neq \beta\;\;\; \text{but}\;\;\; \text{plim} \hat \beta = \beta$

Nessuna contraddizione qui.

— Alecos Papadopoulos
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@Alecos spiega bene perché un plim corretto e un imparziale non sono gli stessi. Per quanto riguarda il motivo alla base del perché lo stimatore non è imparziale, ricorda che l'imparzialità di uno stimatore richiede che tutti i termini di errore siano mediamente indipendenti da tutti i valori del regressore, . $E(\epsilon|X)=0$

Nella fattispecie, la matrice del regressore è costituita dai valori , in modo che - vedi il commento di mpiktas - la condizione si traduce in per tutti i . $y_1,\ldots,y_{T-1}$ $E(\epsilon_s|y_1,\ldots,y_{T-1})=0$ $s=2,\ldots,T$

Qui abbiamo

anche sotto l'assunzione abbiamo che Ma,

y_{t} = β y_{t - 1} + ε_{t},

$\begin{equation*} y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}, \end{equation*}$

E (ϵ_{t} y_{t - 1}) = 0

$E(\epsilon_{t}y_{t-1})=0$

E (ε_{t} y_{t}) = E (ε_{t} (β y_{t - 1} + ε_{t})) = E (ε_{t}^{2}) \neq 0.

$\begin{equation*} E(\epsilon_ty_{t})=E(\epsilon_t(\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}))=E(\epsilon _{t}^{2})\neq 0. \end{equation*}$

è anche un regressore per i valori futuri nel modello ain AR, poiché

y_{t}

$y_t$

y_{t + 1} = β y_{t} + ϵ_{t + 1}

$y_{t+1}=\beta y_{t}+\epsilon_{t+1}$

— Christoph Hanck
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Vorrei aggiungere la precisazione che

in questo caso si traduce in

per ogni

. Quindi l'ulteriore discussione diventa un po 'più chiara.

E (ε | X)

$E(\varepsilon | X)$

E (ε_{s} | y_{1}, . . ., y_{T})

$E(\varepsilon_s|y_{1},...,y_T)$

s

$s$

— mpiktas,

buon punto, ho fatto una modifica

— Christoph Hanck,

Espandendo su due buone risposte. Annota lo stimatore OLS:

\hat{β} = β + \frac{\sum_{t = 2}^{T} y_{t - 1} ε_{t}}{\sum_{t = 2}^{T} y_{t - 1}^{2}}

$\hat\beta =\beta + \frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}$

Abbiamo bisogno di imparzialità

E [\frac{\sum_{t = 2}^{T} y_{t - 1} ε_{t}}{Σ_{t = 2}^{T} y_{t - 1}^{2}}] = 0.

$E\left[\frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}\right]=0.$

$E(\varepsilon_t|y_{1},...,y_{T-1})=0,$ $t$ $\varepsilon_t$ $y_{t},y_{t+1},...,y_{T}$

— mpiktas
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y_{t - 1}

$y_{t-1}$

ϵ_{t}

$\epsilon_{t}$

Sì, questa è l'intuizione corretta. Si noti che in questo caso non è possibile una rigorosa esogeneità, ma per imparzialità una rigorosa esogeneità diventa un requisito.

— mpiktas,