Come applicare il termine coefficiente per fattori e termini interattivi in ​​un'equazione lineare?

Usando R, ho inserito un modello lineare per una singola variabile di risposta da un mix di predittori continui e discreti. Questo è estremamente semplice, ma ho difficoltà a capire come funziona un coefficiente per un fattore discreto.

Concetto: Ovviamente, il coefficiente della variabile continua 'x' viene applicato nella forma y = coefx(varx) + interceptma come funziona per un fattore z se il fattore non è numerico?y = coefx(varx) + coefz(factorz???) + intercept

Specifico: ho inserito un modello in R come lm(log(c) ~ log(d) + h + a + f + h:a)dove he fsono fattori discreti e non numerici. I coefficienti sono:

Coefficients:
              Estimate 
(Intercept)  -0.679695 
log(d)        1.791294 
h1            0.870735  
h2           -0.447570  
h3            0.542033   
a             0.037362  
f1           -0.588362  
f2            0.816825 
f3            0.534440
h1:a         -0.085658
h2:a         -0.034970 
h3:a         -0.040637

Come posso usarli per creare l'equazione predittiva:

log(c) =  1.791294(log(d)) + 0.037362(a) + h??? + f???? + h:a???? + -0.679695

O sto sbagliando?

PENSO che quel concetto sia se il soggetto rientra nella categoria h1e f2l'equazione diventa:

log(c) =  1.791294(log(d)) + 0.037362(a) +  0.870735  + 0.816825  + h:a???? + -0.679695

Ma non sono davvero chiaro su come h:avenga analizzato il termine interattivo. Grazie per essere andato piano con me.

Questo non è un problema specifico di R. R utilizza una visualizzazione convenzionale dei coefficienti.

Quando leggi questo output di regressione (in un documento, un libro di testo o da un software statistico), devi sapere quali variabili sono "continue" e quali "categoriche":

• Quelli "continui" sono esplicitamente numerici e i loro valori numerici sono stati usati così come sono nel raccordo di regressione.

• Le variabili "categoriche" possono essere di qualsiasi tipo, comprese quelle numeriche! Ciò che li rende categorici è che il software li ha trattati come "fattori": vale a dire, ogni valore distinto che viene trovato è considerato un indicatore di qualcosa di distinto.

  La maggior parte dei software considera i valori non numerici (come le stringhe) come fattori. La maggior parte dei software può essere persuasa a trattare anche i valori numerici come fattori. Ad esempio, un codice di servizio postale (codice postale negli Stati Uniti) sembra un numero ma in realtà è solo un codice per un set di cassette postali; non avrebbe senso aggiungere, sottrarre e moltiplicare i codici postali per altri numeri! (Questa flessibilità è la fonte di un errore comune: se non stai attento o inconsapevole, il tuo software potrebbe trattare una variabile che ritieni categorica come continua o viceversa. Fai attenzione!)

  Tuttavia, le variabili categoriali devono essere rappresentate in qualche modo come numeri per applicare gli algoritmi di adattamento. Esistono molti modi per codificarli . I codici vengono creati utilizzando "variabili fittizie". Scopri di più sulla codifica delle variabili fittizie cercando su questo sito; i dettagli non contano qui.

Nella domanda ci viene detto che he fsono valori categoriali ( "discreti"). Per impostazione predefinita, log(d)e asono continui. Questo è tutto ciò che dobbiamo sapere. Il modello è

$$\eqalign{ y &= \color{red}{-0.679695} & \\ &+ \color{RoyalBlue}{1.791294}\ \log(d) \\ &+ 0.870735 &\text{ if }h=h_1 \\ & -0.447570 &\text{ if }h=h_2 \\ &+ \color{green}{0.542033} &\text{ if }h=h_3 \\ &+ \color{orange}{0.037362}\ a \\ & -0.588362 &\text{ if }f=f_1 \\ &+ \color{purple}{0.816825} &\text{ if }f=f_2 \\ &+ 0.534440 &\text{ if }f=f_3 \\ & -0.085658\ a &\text{ if }h=h_1 \\ & -0.034970\ a &\text{ if }h=h_2 \\ & -\color{brown}{0.040637}\ a &\text{ if }h=h_3 \\ }$$

Le regole applicate qui sono:

• Il termine "intercetta", se appare, è una costante additiva (prima riga).

• Le variabili continue sono moltiplicati per i loro coefficienti, anche in "interazioni" , come la h1:a, h2:ae h3:acondizioni. (Questo risponde alla domanda originale.)

• Qualsiasi variabile (o fattore) categoriale è inclusa solo per i casi in cui appare il valore di quel fattore.

$\log(d)=2$$h=h_3$$a=-1$$f=f_2$

$$\hat{y} = \color{red}{-0.6797} + \color{RoyalBlue}{1.7913}\times (2) + \color{green}{0.5420} + \color{orange}{0.0374}\times (-1) + \color{purple}{0.8168} -\color{brown}{0.0406}\times (-1).$$

h$h_1$$h_2$$h_3$$(0.870735, -0.447570, 0.542033)$h$(-0.085658, -0.034970, -0.040637)$ah:ainterazione; allo stesso modo, si applica un solo coefficiente fin ogni caso particolare.

Questo è solo un commento ma non si adatta come tale nelle caselle di modifica limitate che abbiamo a nostra disposizione.

$\LaTeX$

Simuliamo prima alcuni dati,

n <- 200
x1 <- runif(n)
x2 <- runif(n)
x3 <- runif(n)
g1 <- gl(2, 100, n, labels=letters[1:2])
g2 <- cut2(runif(n), g=4)
y <- x1 + x2 + rnorm(200)

quindi inserire un modello di regressione,

f <- ols(y ~ x1 + x2 + x3 + g1 + g2 + x1:g1)

che produce i seguenti risultati:

Linear Regression Model

ols(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + g1 + g2 + x1:g1)

                Model Likelihood     Discrimination    
                   Ratio Test           Indexes        
Obs      200    LR chi2     35.22    R2       0.161    
sigma 0.9887    d.f.            8    R2 adj   0.126    
d.f.     191    Pr(> chi2) 0.0000    g        0.487    

Residuals

    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-3.1642 -0.7109  0.1015  0.7363  2.7342 

                   Coef    S.E.   t     Pr(>|t|)
Intercept           0.0540 0.2932  0.18 0.8541  
x1                  1.1414 0.3642  3.13 0.0020  
x2                  0.8546 0.2331  3.67 0.0003  
x3                 -0.0048 0.2472 -0.02 0.9844  
g1=b                0.2099 0.2895  0.73 0.4692  
g2=[0.23278,0.553)  0.0609 0.1988  0.31 0.7598  
g2=[0.55315,0.777) -0.2615 0.1987 -1.32 0.1896  
g2=[0.77742,0.985] -0.2107 0.1986 -1.06 0.2901  
x1 * g1=b          -0.2354 0.5020 -0.47 0.6396  

Quindi, per stampare l'equazione di regressione corrispondente, basta usare la latexfunzione generica , in questo modo:

latex(f)

Dopo la conversione del DVI in PNG, dovresti ottenere qualcosa del genere

IMO, questo ha il merito di mostrare come calcolare i valori previsti in base ai valori effettivi o scelti per i predittori numerici e categorici. Per quest'ultimo, i livelli dei fattori sono indicati tra parentesi vicino al coefficiente corrispondente.

Puoi controllare i tuoi "contrasti" come predefiniti options()e cercando:

$contrasts
        unordered           ordered 
"contr.treatment"      "contr.poly" 

Se i tuoi contrasti non ordinati sono impostati come contr.treatment(come dovrebbero essere a meno che tu non li abbia modificati), il primo livello di ciascuno dei tuoi fattori verrà impostato come base. Ti verranno fornite solo stime per i coefficienti di fronte alle variabili fittizie create per altri livelli del fattore. In effetti, tali coefficienti saranno "quanto in media è diversa la variabile di risposta a questo livello del fattore, rispetto al livello di base del fattore, avendo controllato tutto il resto nel modello".

Immagino che dal tuo output ci sia un h0e f0che sono i livelli di base per h e f (a meno che tu non abbia un'opzione non predefinita per i contrasti, nel qual caso ci sono diverse possibilità; prova ?contr.treatmentad aiutare).

È simile con l'interazione. Se il mio paragrafo precedente è corretto, la stima fornita asarà davvero la pendenza per aquando h=h0. Le stime fornite nel riepilogo che si applicano alle interazioni indicano quanto cambia tale pendenza per diversi livelli di h.

Quindi nel tuo esempio dove h = h1 e f = f2, prova:

log(c) =  1.791294(log(d)) + (0.037362 - 0.085658) (a) +  0.870735  + 0.816825  -0.679695

Oh, e puoi usare predict()anche molte cose utili ... se in realtà vuoi predire qualcosa (piuttosto che scrivere l'equazione per un rapporto). Prova ?predict.lma vedere cosa predict()fa un oggetto creato da lm.