Perché le modifiche del log naturale sono variazioni percentuali? Che dire dei registri che lo rendono così?

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Qualcuno può spiegare come le proprietà dei registri lo rendono in modo da poter fare le regressioni lineari in cui i coefficienti sono interpretati come variazioni percentuali?

regression logarithm mathematical-statistics

— thewhitetie
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l o g (y_{t}) - l o g (y_{t - 1}) = l o g (y_{t} / y_{t - 1})

$log(y_t) -log(y_{t-1})=log(y_t/y_{t-1})$ e è 1 più la variazione percentuale.

y_{t} / y_{t - 1}

$y_t/y_{t-1}$

Differenziare l'equazione relativa a X1 penso che ci metta sulla buona strada nel rispondere alla domanda meglio che considerare le espressioni in serie.

— Charles

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Per e vicini l'uno all'altro, la variazione percentuale approssima la differenza di . $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ $\log x_2 - \log x_1$

Perché la variazione percentuale si avvicina alla differenza del registro?

Un'idea dal calcolo è che puoi approssimare una funzione regolare con una linea. L'approssimazione lineare è semplicemente i primi due termini di una serie di Taylor . Il primo ordine Taylor Expansion di attorno a è dato da: $\log(x)$ $x=1$

\log (x) \approx \log (1) + \frac{d}{d x} {\log (x) |}_{x = 1} (x - 1)

$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$

Il lato destro si semplifica in quindi:

0 + \frac{1}{1} (x - 1)

$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$

\log (x) \approx x - 1

$\log(x) \approx x-1$

Quindi per in prossimità di 1, possiamo approssimare con la linea Di seguito è riportato un grafico di e . $x$ $\log(x)$ $y = x - 1$ $y = \log(x)$ $y = x - 1$

Esempio: . $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

Ora considera due variabili e tali che . Quindi la differenza del registro è approssimativamente la variazione percentuale : $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$ $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

\log x_{2} - \log x_{1} = \log (\frac{x_{2}}{x_{1}}) \approx \frac{x_{2}}{x_{1}} - 1

$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$

La variazione percentuale è un'approssimazione lineare della differenza di registro!

Perché registrare le differenze?

Spesso, quando pensi in termini di variazioni percentuali complessive, il concetto matematicamente più pulito è pensare in termini di differenze logaritmiche. Quando si moltiplicano ripetutamente i termini insieme, spesso è più conveniente lavorare nei registri e invece aggiungere i termini insieme.

Diciamo che la nostra ricchezza al momento è data da: Quindi potrebbe essere più conveniente scrivere: dove . $T$

W_{T} = \prod_{t = 1}^{T} (1 + R_{t})

$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$

\log W_{T} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t}

$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$

r_{t} = \log (1 + R_{t}) = \log W_{t} - \log W_{t - 1}

$r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

Dove sono le variazioni percentuali e la differenza di registro NON è la stessa?

Per le grandi variazioni percentuali, la differenza del registro non è la stessa della variazione percentuale perché l'approssimazione della curva con la linea peggiora e peggiora quanto più si ottiene da . Per esempio: $y = \log(x)$ $y = x - 1$ $x=1$

\log (1.6) - \log (1) = .47 \neq 1.6 - 1

$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$

Qual è la differenza di registro in questo caso?

Un modo di pensarci è che una differenza nei registri di 0,47 equivale a un accumulo di 47 differenze di registro 0,01 differenti, che è di circa il 47% delle variazioni tutte combinate insieme.

\begin{aligned} \log (1.6) - \log (1) & = 47 (.01) \\ \approx 47 (\log (1.01)) \end{aligned}

$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$

Quindi esponenziare entrambe le parti per ottenere:

1.6 \approx {1.01}^{47}

$1.6 \approx 1.01 ^{47}$

Una differenza di registro di 0,47 è approssimativamente equivalente a 47 diversi aumenti dell'1% composti, o ancora meglio, 470 diversi aumenti dell'1% tutti composti ecc.

Molte delle risposte qui rendono questa idea più esplicita.

— Matthew Gunn
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+1, nella speranza che la continuazione pianificata di questa risposta discuta le condizioni in cui si interrompe l'approssimazione.

— whuber

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+1. Per aggiungere un punto minore, da 1,6 a 1 è un calo del 37,5%, da 1 a 1,6 è un aumento del 60%, la differenza di registro 0,47 è indipendente dalla direzione del cambiamento e sempre tra 0,375 e 0,6. Quando non conosciamo o non ci preoccupiamo della direzione del cambiamento, la differenza di registro potrebbe essere un'alternativa al prendere le medie delle variazioni del due percento, anche quando la variazione percentuale è grande.

— Paul,

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Ecco una versione per i manichini ...

Abbiamo il modello - una semplice linea retta attraverso il cloud di dati - e sappiamo che una volta stimati i coefficienti, un aumento di nel valore precedente di sarà comporta un aumento di nel valore di , da , come . Ma le unità possono effettivamente essere insignificanti in valori assoluti. $Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ $1\text{-unit}$ $X=x_1$ $\hat \beta_1$ $Y$ $Y=y_1$ $\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

Quindi possiamo invece cambiare il modello in (coefficienti nuovi di zecca). Ora per lo stesso aumento di unità in , abbiamo un cambiamento $\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ $\hat\delta_1$

\begin{matrix} (*) & \ln (y_{2}) - \ln (y_{1}) = \ln (\frac{y_{2}}{y_{1}}) = {\hat{δ}}_{1} (x_{1} + 1) - {\hat{δ}}_{1} x_{1} = {\hat{δ}}_{1} \end{matrix}

$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$

Per vedere le implicazioni per la variazione in percentuale, possiamo esponenziare : $(*)$

\begin{matrix} (**) & \exp ({\hat{δ}}_{1}) = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{y_{1} + y_{2} - y_{1}}{y_{1}} = 1 + \frac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}} \end{matrix}

$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ è la modifica relativa e da , la variazione percentuale. $(**)$ $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

La chiave per rispondere alla domanda è vedere che per piccoli valori di , che equivale allo stesso uso dei primi due termini dell'espansione di Taylor che Matthew ha usato, ma questa volta di ( serie Maclaurin ) valutato a zero perché stiamo lavorando con esponenti, al contrario dei logaritmi: $\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ $\hat\delta_1$ $e^x$

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

o con come variabile : $\delta_1$ $x$

\exp ({\hat{δ}}_{1}) = 1 + {\hat{δ}}_{1}

$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$

quindi intorno allo zero (abbiamo valutato l'espansione polinomiale a zero quando abbiamo fatto la serie di Taylor). visivamente, $\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

— Antoni Parellada
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la tua risposta è abbastanza chiara: abbiamo bisogno di piccoli coefficienti per poter interpretare la differenza del log come variazione percentuale, ma la risposta di @aksakal mostra che abbiamo bisogno solo di piccole modifiche (es lim Δx --> 0.). Puoi spiegare come sono equivalenti i due?

— towi_parallelism,

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Supponi di avere un modello Prendi una derivata di un registro:

\ln y = A + B x

$\ln y = A+B x$

\frac{d}{d x} \ln y \equiv \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = B

$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$

Ora puoi vedere che la pendenza è ora una pendenza della variazione relativa di : $b$ $y$

\frac{d y}{y} = B d x

$\frac{dy}{y}=B dx$

Se non avessi la trasformazione del log, otterrai una pendenza di cambiamento assoluto di : $y$

d y = B d x

$dy=B dx$

Non ho sostituito con per sottolineare che questo funziona per piccoli cambiamenti. $dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$

— Aksakal
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Ci sono molte grandi spiegazioni nelle risposte attuali, ma eccone un'altra inquadrata in termini di analisi finanziaria dell'accantonamento degli interessi su un investimento iniziale. Supponiamo di avere un importo iniziale di un'unità che matura interessi al tasso (nominale) annuo , con interessi "composti" in periodi dell'anno. Alla fine di un anno, il valore di tale investimento iniziale di un'unità è: $r$ $n$

I (n) = (1 + \frac{r}{n})^{n} .

$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$

Più spesso questo interesse viene "aggravato", più soldi guadagni sul tuo investimento iniziale (dal momento che il composto significa che stai ottenendo interessi sul tuo interesse). Prendendo il limite come otteniamo un "interesse in continuo aumento", che dà: $n \rightarrow \infty$

I (\infty) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n} = \exp (r) .

$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$

Prendendo i logaritmi di entrambe le parti si ottiene , il che significa che il logaritmo del rapporto tra l'investimento finale e l'investimento iniziale è il tasso di interesse costantemente crescente. Da questo risultato, vediamo che le differenze logaritmiche negli esiti delle serie temporali possono essere interpretate come tassi di cambiamento costantemente composti . (Questa interpretazione è anche giustificata dalla risposta di aksakal , ma il presente lavoro ti dà un altro modo di guardarla.) $r = \ln I(\infty)$

— Ripristina Monica
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