Trovare il MLE per un processo esponenziale univariato di Hawkes

Il processo esponenziale univariato di Hawkes è un processo a punti autoeccitante con un tasso di arrivo dell'evento di:

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

dove sono gli orari di arrivo dell'evento.$t_1,..t_n$

La funzione di verosimiglianza log è

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

che può essere calcolato in modo ricorsivo:

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

Quali metodi numerici posso usare per trovare l'MLE? Qual è il metodo pratico più semplice da implementare?

L'algoritmo simplex Nelder-Mead sembra funzionare bene .. È implementato in Java dalla libreria Math di Apache Commons su https://commons.apache.org/math/ . Ho anche scritto un articolo sui processi Hawkes presso Point Process Models per dati spaziati irregolarmente ad alta frequenza multivariati .

felix, usando le trasformazioni exp / log sembra garantire la positività dei parametri. Per quanto riguarda la piccola cosa alfa, cerca in arxiv.org un documento chiamato "teoremi limite per processi di hawkes quasi instabili"

Ho risolto questo problema usando la libreria nlopt . Ho trovato una serie di metodi convergenti abbastanza rapidamente.

Potresti anche fare una semplice massimizzazione. In R:

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)