Due variabili casuali normali standard sono sempre indipendenti?

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Ho imparato che la distribuzione normale standard è unica perché la media e la varianza sono fissate rispettivamente a 0 e 1. Con questo fatto, mi chiedo se due variabili casuali standard debbano essere indipendenti.

normal-distribution independence

— C.Hawk
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Perché dovrebbero essere ..? L'indipendenza non ha nulla a che fare con la distribuzione.

— Tim

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Considerare e . Non sono indipendenti.

X

$X$

X

$X$

— Djechlin,

Questo può essere utile da un punto di vista pratico. stats.stackexchange.com/questions/15011/…

— JustGettin

Oltre ai buoni esempi forniti, consideriamo generalmente una distribuzione normale bivariata con distribuzioni marginali N (0 ,!). È possibile avere una correlazione tra -1 e 1. Gli esempi seguenti sono tutti casi speciali. A parte è possibile che due variabili normali standard siano dipendenti ma non abbiano una distribuzione bivariata.

— Michael R. Chernick,

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Noto che Batman dà un risultato generale che potrebbe essere lo stesso di quello che sto suggerendo. Il caso Y = -X ha una correlazione -1 e quindi è una forma degenerata di una normale bivariata. Non ho visto un esempio qui (in questo post) che illustri un caso che non è normale bivariato.

— Michael R. Chernick,

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La risposta è no. Ad esempio, se è una variabile casuale standard, allora segue le stesse statistiche, ma e sono chiaramente dipendenti. $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— zap
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No, non c'è motivo di credere che due gaussiani standard siano indipendenti.

Ecco una semplice costruzione matematica. Supponiamo che e siano due variabili normali standard indipendenti. Quindi la coppia $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

sono due variabili normali standard dipendenti . Quindi, purché siano due variabili normali indipendenti , devono esserci due variabili dipendenti .

La seconda variabile è normale perché qualsiasi combinazione lineare di variabili normali indipendenti è di nuovo normale. Il è lì per rendere la varianza uguale a. $\sqrt{2}$ $1$

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

Intuitivamente, dipendono dal fatto che conoscere il valore di fornisce informazioni aggiuntive che è possibile utilizzare per prevedere il valore della seconda variabile. Ad esempio, se sai che , l'aspettativa condizionale della seconda variabile è $X$ $X = x$

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— Matthew Drury
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Ecco una risposta abbastanza ampia:

$X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

$\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ $\lambda$ $\Sigma= R R^T$ $U,V$ $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ has standard normal components, but the components are independent if and only if $p=0$ .

— Batman
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A non-bivariate normal example (as Michael Chernick suggests in the comments):

Let $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$ .

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$ .

— Batman
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