Semplice domanda di combinazione / probabilità basata sulla lunghezza della stringa e sui possibili caratteri

Supponendo "casualità completa" e una stringa con una lunghezza di 20 caratteri in cui ogni personaggio può essere uno dei 62 caratteri possibili:

Quali sono il numero totale di combinazioni possibili? (Indovinando 20 alla potenza di 62.)
Inoltre, se le nuove stringhe vengono selezionate casualmente una dopo l'altra e aggiunte a un elenco di stringhe selezionate finora, quante stringhe devono essere selezionate prima che la possibilità di selezionare una stringa che sia già stata selezionata sia inferiore a 1 su 100000 ( $10^{-5}$ )?

Nota: 62 proviene da: cifre numeriche (0-9), lettere maiuscole (AZ) e lettere minuscole (az).

probability combinatorics

— errori
fonte

Il tuo secondo punto elenco può essere letto (almeno) in due modi possibili. Mi chiedo che siete interessati a. ( 1 ) La probabilità che il

n

$n$ ° stringa corrisponde una delle stringhe precedenti o ( 2 ) La probabilità che per il momento il

n

$n$ è selezionato esima stringa esiste qualche duplicato all'interno della collezione di stringhe disegnate finora. Le risposte a queste due domande saranno molto diverse. :)

— cardinale il

Forse considerare un alfabeto di due caratteri chiarirà la differenza. Lasciate che le lettere siano

. Possiamo chiedere: ( 1 ) Per quale

dobbiamo avere almeno un 99% del

° stringa di essere un duplicato di una stringa precedente? La

qui è 8 poiché l'unico modo in cui falliamo è se la nostra sequenza è

, che ha probabilità totale

. Oppure, chiediamo ( 2 ) Per cosa

H

$H$

T

$T$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

T T T \dots T H

$TTT \cdots TH$

H H H \dots H T

$HHH\cdots HT$

2^{- (n - 1)}

$2^{-(n-1)}$

abbiamo almeno il 99% di possibilità di vedere dei duplicati? In questo caso

poiché nel momento in cui abbiamo visto tre stringhe,

sono state ripetute almeno una volta.

n

$n$

n = 3

$n = 3$

H

$H$

T

$T$

— cardinale il

La risposta di Matt gestisce ( 1 ), che essenzialmente risponde alla domanda se la "mia" stringa corrisponde a quella di qualcun altro. Ma, se siete preoccupati per le stringhe di alcune altre due persone anche potenzialmente di corrispondenza, allora siete interessati a ( 2 ). Dipende se hai una particolare stringa di interesse con cui stai confrontando tutti gli altri o se stai confrontando tutte le stringhe tra loro. Non sono sicuro se lo sto chiarendo, però. (Il tuo problema si riduce a una delle due varianti del famoso cosiddetto "problema del compleanno".)

— Cardinale

Il cardinale è, come al solito, corretto. Supponevo che avessi una stringa "target", per la quale stavi generando un elenco di ipotesi. Se invece stai generando stringhe a caso e vuoi sapere il numero che è sicuro generare prima che due stringhe corrispondano, allora la risposta è molto diversa. Modificherò la mia risposta per affrontare quel caso, se per te va bene.

— Matt Krause,

Non ho chiarito completamente il mio esempio precedente. Mi dispiace per quello. Stavo pensando a un alfabeto di due lettere

e disegnavo stringhe di lunghezza uno . Quindi, quando ho scritto

, che stava per

, ...,

{H, T}

$\{H,T\}$

H H H \dots H T

$HHH\cdots HT$

s_{1} = H

$s_1 = H$

s_{2} = H

$s_2 = H$

s_{n - 1} = H

$s_{n-1} = H$

s_{n} = T

$s_n = T$

— cardinale il

Numero totale di possibilità

1) Chiudi! Hai 62 scelte per il primo personaggio, 62 per il 2 °, ecc., Quindi con , che è un numero assurdamente enorme. $62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot \cdots 62 = 62^{20}$

Collisione con una stringa "Target"

2) Come stabilito sopra, ci sono stringhe potenziali. Volete sapere quanti ne dovreste indovinare per avere una probabilità migliore di 1 su 100.000 di indovinare la stringa "target". In sostanza, stai chiedendo cosa $62^{20}$ Per metterlo a posto, dovresti arrotondare x per eccesso (o aggiungerne uno, se sono esattamente uguali), ma come vedrai tra un secondo, non importa.

\frac{x}{62^{20}} \geq \frac{1}{10^{5}}

$\frac{x}{62^{20}} \ge \frac{1}{10^5}$

Attraverso l'algebra di base, possiamo riorganizzarlo come

\begin{aligned} 10^{5} x & \geq 62^{20} \\ 10^{5} x & \geq (6.2 \cdot 10)^{20} \\ 10^{5} x & \geq {6.2}^{20} \cdot 10^{20} \\ x & \geq {6.2}^{20} \cdot 10^{15} \end{aligned}

$\begin{aligned} 10^5x &\ge 62^{20}\\ 10^5{x} &\ge (6.2 \cdot 10)^{20}\\ 10^5x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{20}\\ x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{15} \end{aligned}$

Facendo la matematica, è circa , quindi chiamiamo tutto o, più succintamente, un sacco di cose. $6.2^{20}$ $7 \cdot 10^{15}$ $7 \cdot 10^{30}$

Questo è, ovviamente, il motivo per cui le password lunghe funzionano davvero bene :-) Per le password reali, ovviamente, devi preoccuparti di stringhe di lunghezza inferiore o uguale a venti, che aumenta ancora di più il numero di possibilità.

Duplicati nell'elenco

Consideriamo ora l'altro scenario. Le stringhe vengono generate casualmente e vogliamo determinare quante possono essere generate prima che ci sia una probabilità 1: 100.000 di una corrispondenza di due stringhe. La versione classica di questo problema si chiama Problema del compleanno (o "Paradox") e chiede quale sia la probabilità che due persone n abbiano lo stesso compleanno. L'articolo di Wikipedia [1] sembra decente e ha alcune tabelle che potresti trovare utili. Tuttavia, proverò a darti il sapore della risposta anche qui.

Alcune cose da tenere a mente:

-La probabilità di una corrispondenza e di non avere una corrispondenza deve essere pari a 1, quindi e viceversa. $P(\textrm{match}) = 1 - P(\textrm{no match})$

-Per due eventi indipendenti e , la probabilità di . $A$ $B$ $P(A \& B) = P(A) \cdot P(B)$

Per ottenere la risposta, inizieremo calcolando la probabilità di non vedere una corrispondenza per un numero fisso di stringhe . Una volta che sappiamo come farlo, possiamo impostare quell'equazione uguale alla soglia (1 / 100.000) e risolvere per . Per comodità, chiamiamo il numero di stringhe possibili ( ). $k$ $k$ $N$ $62^{20}$

Cammineremo lungo l'elenco e calcoleremo la probabilità che la stringa ^ {th} corrisponda a una qualsiasi delle stringhe "sopra" nella lista. Per la prima stringa, abbiamo stringhe totali e niente nell'elenco, quindi $k$ $N$ . Per la seconda stringa, ci sono ancorapossibilità totali, ma una di queste è stata "utilizzata" dalla prima stringa, quindi la probabilità di una corrispondenza per questa stringa è $P_{k=1}(\textrm{no match}) = \frac{N}{N} = 1$ $N$ Per la terza stringa, ci sono due modi per farlo corrispondere e quindimodi per non farlo, quindi $P_{k=2}(\textrm{no match}) = \frac{N-1}{N}$ $N-2$ e così via. In generale, la probabilità che laesima stringa non corrisponda alle altre è $P_{k=3}(\textrm{no match}) = \frac{N-2}{N}$ $k$

P_{k} (no match) = \frac{N - k + 1}{N}

$P_{k}(\textrm{no match})= \frac{N-k+1}{N}$

$k$

P (No Matches) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N - 1}{N} \cdot \frac{N - 2}{N} \dots \frac{N - k + 1}{N}

$P(\textrm{No Matches}) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N-1}{N} \cdot \frac{N-2}{N} \cdots \frac{N-k+1}{N}$

\begin{aligned} P (No Matches) & = \frac{N \cdot (N - 1) \cdot (N - 2) \dots (N - k + 1)}{N^{k}} \\ P (No Matches) & = \frac{N!}{N^{k} \cdot (N - k)!} \\ P (No Matches) & = \frac{k! \cdot (\binom{N}{k})}{N^{k}} \end{aligned}

$\begin{aligned} P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots (N-k+1)}{N^k} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N!}{N^k \cdot (N-k)!} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{k! \cdot \binom{N}{k}}{N^k} \\ \end{aligned}$

k! = (k) \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \dots 1

$k! = (k) \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdots 1$

N - k + 1 \dots N

$N-k+1 \cdots N$

k

$k$

\frac{1}{100, 000}

$\frac{1}{100,000}$

k

$k$

100!

$100!$

k = 0.5 + \sqrt{0.25 - 2 N \ln (p)}

$k = 0.5 + \sqrt{0.25 - 2N\ln(p)}$

N = 48, 000

$N=48,000$

3.7 \cdot 10^{15}

$3.7 \cdot 10^{15}$

Riferimenti

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

[2] Mathis, Frank H. (giugno 1991). "Un problema di compleanno generalizzato". Revisione SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) 33 (2): 265–270. JSTOR Link

— Matt Krause
fonte

+1 Fantastico, dato chiaramente che le mie scarse abilità matematiche mi hanno portato a porre la domanda, quindi lascerò la domanda senza risposta per un giorno, ma mi sembra buona ed è molto più chiara di una risposta di quanto mi aspettassi - grazie!

— errori

Felice di aiutare! Fammi sapere se qualcosa non è chiaro. Per i calci, ho eseguito i numeri. Avrai bisogno di 7044234255469980229683302646164 ipotesi; come ho detto - molto!

— Matt Krause,

+1 @Matt Krause: +1 al tuo commento sotto la risposta; la tua risposta e l'impegno a dare la migliore risposta possibile sono esemplari, degni di nota e grazie per tutto il tuo duro lavoro!

— errori del