Come posso dimostrare che la funzione di distribuzione cumulativa è corretta continua?

Ho imparato nei miei corsi di probabilità che la funzione di distribuzione cumulativa di una variabile casuale è continua continua. È possibile provarlo?$F$$X$

Per dimostrare la giusta continuità della funzione di distribuzione devi usare la continuità dall'alto di , che probabilmente hai dimostrato in uno dei tuoi corsi di probabilità.$P$

Lemma. Se una sequenza di eventi sta diminuendo, nel senso che per ogni , quindi , in cui .$\{A_n\}_{n\geq 1}$$A_n\supset A_{n+1}$$n\geq 1$$P(A_n)\downarrow P(A)$$A=\cap_{n=1}^\infty A_n$

Usiamo il Lemma. La funzione di distribuzione è destra continua a un certo punto se e solo se per ogni sequenza decrescente di numeri reali tale che abbiamo .$F$$a$$\{x_n\}_{n\geq 1}$$x_n\downarrow a$$F(x_n)\downarrow F(a)$

Definire gli eventi , per . che$A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$$n\geq 1$

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$$

In una direzione, se per ogni , poiché , abbiamo .$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$$x_n\downarrow a$$X(\omega)\leq a$

Nella direzione opposta, se , poiché per ogni , abbiamo , per ogni .$X(\omega)\leq a$$a\leq x_n$$n\geq 1$$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$

Utilizzando Lemma, il risultato è il seguente:

$$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$$