Un problema di compleanno inverso: nessuna coppia su 1 milione di alieni condivide un compleanno; qual è il loro anno?

Assumi un pianeta con un anno molto lungo di giorni. Ci sono 1 milione di alieni a una festa in una stanza e nessuno condivide un compleanno. Cosa si può dedurre sulla dimensione di ? $N$ $N$

(Questa domanda più compatta sostituisce questa mal formulata. )

probability birthday-paradox

— Paul Uszak
fonte

Il problema del compleanno indica il valore di N in cui la probabilità di almeno una corrispondenza è maggiore di un valore specificato. Quando p = 1/2 è sorprendente l'intuizione che questo dia n = 23 .. Ciò presuppone che ogni compleanno abbia la stessa probabilità uniforme (1/365). La non uniformità rende solo n più piccola. Ora nel tuo problema sembra che N sostituisca 365 e presumo che l'ipotesi di uniformità sia mantenuta.

— Michael R. Chernick,

Se N <= 1.000.000, almeno 1 corrispondenza ha probabilità = 1 e quindi 0 corrispondenze ha probabilità = 0.

— Michael R. Chernick,

Quindi quando N> 1.000.000 la probabilità di almeno 1 corrispondenza ha probabilità <1 e quindi la probabilità di zero corrispondenze inizia ad aumentare.

— Michael R. Chernick,

@Michael Si prega di riservare commenti per richieste di chiarimenti e altre discussioni accidentali, e provare a postare solo uno alla volta: c'è una buona ragione per il limite di caratteri. Se ti ritrovi a discutere di qualcosa di sostanziale che richiede più commenti, probabilmente stai cercando di rispondere alla domanda, quindi potresti anche pubblicare una risposta.

— whuber

$k+1$

p (k; N) = 1 (1 - \frac{1}{N}) (1 - \frac{2}{N}) \dots (1 - \frac{k}{N}) .

$p(k;N) = 1\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{2}{N}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{N}\right).$

$k$ $N$

\begin{matrix} (1) & \log (p (k; N)) = - \frac{k (k + 1)}{2 N} - \frac{k + 3 k^{2} + 2 k^{3}}{12 N^{2}} - O (k^{4} N^{- 3}) . \end{matrix}

$\log(p(k;N)) = -\frac{k(k+1)}{2N} - \frac{k + 3k^2 + 2k^3}{12N^2} - O(k^4 N^{-3}).\tag{1}$

$100-100\alpha\%$ $N$ $N^{*}$ $(1)$ $\log(1-\alpha)$ $\alpha$ $N$ $k$ $(1)$ $-k^2/(2N)$

- \frac{k^{2}}{2 N} > \log (1 - α),

$-\frac{k^2}{2N} \gt \log(1-\alpha),$

che implica

\begin{matrix} (2) & N > \frac{- k^{2}}{2 \log (1 - α)} \approx \frac{k^{2}}{2 α} = N^{*} \end{matrix}

$N \gt\frac{-k^2}{2\log(1-\alpha)} \approx \frac{k^2}{2\alpha}=N^{*}\tag{2}$

$\alpha$

$k=10^6-1$ $\alpha=0.05$ $95\%$ $(2)$ $N \gt 10^{13}$

$(2)$ $N=9.74786\times 10^{12}$ $N$ $p(10^6-1, 9.74786\times 10^{12})=95.0000\ldots\%$ $95\%$ $N$ $95\%$ $N$ $100 - 95= 5\%$ $N$

$4\%$ $k=6$ $5.6\%$ $k=7$ $N$ $360$ $490$ $366$ $k$ $\alpha$

— whuber
fonte

Non ero preparato a dare una risposta come questa. Con i numeri queste approssimazioni grandi potrebbero essere più facili da calcolare. Wikipedia fornisce il problema del compleanno generalizzato che mostra approssimazioni e limiti su N con k persone (alieni). Ho avuto la stessa formula della tua prima equazione.

— Michael R. Chernick,

La mia domanda sarebbe quanto deve essere grande N per raggiungere il 100% di fiducia. Penso che sia qualcosa come 10 ^ 18.

— Michael R. Chernick,

@MichaelChernick Per il 100% di fiducia N va all'infinito. Per ogni anno finito e per qualsiasi parte con 2 o più alieni, la probabilità di due alieni con lo stesso compleanno è sempre maggiore di 0.

— Pere

@Pere Sì, grazie per averlo visto. Lo riparerò subito. Non ha fatto differenza per il resto del post.

— whuber

@Paul Uszak Penso che il tuo commento sulla risposta di Pere (ora cancellato) sia stato troppo duro. Penso che la sua risposta sia stata data in buona fede. Stava cercando di esserti utile fornendo approssimazioni utili. In seguito vide la risposta di Whuber e decise che era più completa e accettò di eliminare la sua risposta. Il suo commento sul non aspettarsi una risposta dettagliata non intendeva interpretarlo. Questo è un problema difficile Hai anche dovuto riscrivere il post per renderlo comprensibile. Sono sicuro che non prenda la soluzione di un problema come questo per scherzo.

— Michael R. Chernick,