Ho trovato il seguente articolo, che affronta questo problema: Jiang, Tiefeng (2004). Le distribuzioni asintotiche delle più grandi voci delle matrici di correlazione dei campioni. The Annals of Applied Probability, 14 (2), 865-880
Jiang mostra la distribuzione asintotica della statistica, dove è la correlazione tra l' e il esimo vettore casuale di lunghezza (con ), èρ i j i j n i ≠ jLn=max1≤i<j≤N|ρij|ρijijni≠j
limn→∞Pr[nL2n−4logn+log(log(n))≤y]=exp(−1a28π−−√exp(−y/2)),
dove si presume che sia presente nel documento e sia una funzione di .
a=limn→∞n/NNn
Apparentemente questo risultato vale per qualsiasi distribuzione di distribuzione con un numero sufficiente di momenti finiti ( Modifica: vedi il commento di @ cardinale sotto). Jiang sottolinea che questa è una distribuzione di valore estremo di tipo I. La posizione e la scala sono
σ=2,μ=2log(1a28π−−√).
Il valore atteso della distribuzione EV di tipo I è , dove indica la costante di Eulero. Tuttavia, come osservato nei commenti, la convergenza nella distribuzione non garantisce, di per sé, la convergenza dei mezzi con quella della distribuzione limitante.μ+σγγ
Se potessimo mostrare questo risultato in questo caso, il valore atteso asintotico disarebbenL2n−4logn+log(log(n))
limn→∞E[nL2n−4logn+log(log(n))]=−2log(a28π−−√)+2γ.
Si noti che ciò darebbe il valore atteso asintotico della più grande correlazione quadrata, mentre la domanda poneva il valore atteso della più grande correlazione assoluta. Quindi non al 100% lì, ma vicino.
Ho fatto alcune brevi simulazioni che mi hanno portato a pensare 1) c'è un problema con la mia simulazione (probabilmente), 2) c'è un problema con la mia trascrizione / algebra (anche probabile), o 3) l'approssimazione non è valida per valori di e ho usato. Forse l'OP può pesare con alcuni risultati di simulazione usando questa approssimazione?nN