Perché P (A, B | C) / P (B | C) = P (A | B, C)?

Capisco $P(A\cap B)/P(B) = P(A|B)$ . Il condizionale è l'intersezione di A e B divisa per l'intera area di B.

Ma perché $P(A\cap B|C)/P(B|C) = P(A|B \cap C)$ ?

Puoi dare un po 'di intuizione?

Non dovrebbe essere: ?$P(A\cap B \cap C)/P(B,C) = P(A|B \cap C)$

Qualsiasi risultato di probabilità che è vero per probabilità incondizionata rimane vero se tutto è condizionato in qualche evento.

Sai che per definizione, e quindi se condizioniamoche si sia verificatotutto suC, otteniamo che P(A∣(B∩C))=P((A∩B)∣C

$$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\tag{1}$$ $C$ esattamente come ti dice l'intuizione. Ma puoi impostareD=B∩C e iniziare con la definizione diP(A∣(B∩C))=P(A∣D)come in(1)P(A∣(B∩C))=P(A∣D)=P $$P(A\mid (B \cap C)) = \frac{P((A\cap B)\mid C)}{P(B\mid C)}\tag{2}$$ $D = B\cap C$$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D)$$(1)$ e quindi moltiplicare e dividere perP(C))a destra di(3)per scrivere il risultato finale come(2)come nella risposta di Taylor. $$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{P(A\cap (B \cap C))}{P(B\cap C)} = \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}\tag{3}$$ $P(C))$$(3)$$(2)$

$$\Pr[A \cap B \mid C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[B \mid C] = \frac{\text{"1"} + \text{"2"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[A \mid B \cap C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"1"} + \text{"2"}},$$

$$\begin{align*} \frac{P(A,B|C)}{P(B|C)} &= \frac{P(A,B,C)}{P(C)}\frac{P(C)}{P(B,C)} \\ &= \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} \\ &= P(A|B,C) \end{align*}$$

La mia intuizione è la seguente ...

Condizionamento attivo $C$ significa che stiamo considerando solo i casi in cui $C$viene data. Supponiamo che io viva in un mondo in cui$C$ è sempre dato.

Il mio pepole non sa nulla e non può immaginare un mondo senza $C$. Per qualche ragione, i nostri matematici indicano la probabilità di$X$ di $\hat{P}(X)$. Hanno anche già scoperto la regola

$$\hat P(A|B) = \frac{\hat P(A\cap B)}{\hat P(B)}\text{.}$$

Ora, come terrestre, conosci un mondo in cui $C$non fa parte delle ipotesi nella vita di tutti i giorni. Quindi, quando vieni sul nostro pianeta, puoi immediatamente notare che ogni nostra probabilità$\hat P(X)$ corrisponde effettivamente al tuo $P(X|C)$.

Sei immediatamente in grado di riscrivere l'RHS, seguendo la scoperta superiore:

$$\frac{P(A\cap B\mid C)}{P(B \mid C)}\text{.}$$

Ma ... Cos'è l'LHS? Bene, qual è la probabilità di$A$ quando $B$ viene dato quando $C$è (anche) dato? Precisamente

$$P(A\mid B\cap C)\text{,}$$ da qui la formula.