Come "sommare" una deviazione standard?

Ho una media mensile per un valore e una deviazione standard corrispondente a quella media. Ora sto calcolando la media annuale come la somma delle medie mensili, come posso rappresentare la deviazione standard per la media sommata?

Ad esempio, considerando l'output di un parco eolico:

Month        MWh     StdDev
January      927     333 
February     1234    250
March        1032    301
April        876     204
May          865     165
June         750     263
July         780     280
August       690     98
September    730     76
October      821     240
November     803     178
December     850     250

Possiamo dire che nell'anno medio il parco eolico produce 10.358 MWh, ma qual è la deviazione standard corrispondente a questa cifra?

Risposta breve: fai una media delle varianze ; quindi puoi prendere la radice quadrata per ottenere la deviazione standard media .

Esempio

Month          MWh  StdDev  Variance
==========   =====  ======  ========
January        927    333     110889
February      1234    250      62500
March         1032    301      90601
April          876    204      41616
May            865    165      27225
June           750    263      69169
July           780    280      78400
August         690     98       9604
September      730     76       5776
October        821    240      57600
November       803    178      31684
December       850    250      62500
===========  =====  =======  =======
Total        10358            647564
÷12            863    232      53964

E quindi la deviazione standard media èsqrt(53,964) = 232

Dalla somma delle variabili casuali normalmente distribuite :

Se e sono variabili casuali indipendenti che sono normalmente distribuite (e quindi anche congiuntamente), allora anche la loro somma viene normalmente distribuita$X$$Y$

... la somma di due variabili casuali distribuite normalmente indipendenti è normale, con la media che è la somma dei due mezzi e la sua varianza è la somma delle due varianze

E dalla distribuzione della somma normale di Wolfram Alpha :

$X$$Y$$(\mu_X,\sigma_X^2)$$(\mu_Y,\sigma_Y^2)$

$$P_{X+Y}(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi (\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)}} e^{-[u-(\mu_X+\mu_Y)]^2/[2(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)]}$$

che ha una media

$$\mu_{X+Y} = \mu_X+\mu_Y$$

e varianza

$$\sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$

Per i tuoi dati:

• somma: 10,358 MWh
• varianza: 647,564
• deviazione standard: 804.71 ( sqrt(647564) )

Quindi per rispondere alla tua domanda:

• Come "sommare" una deviazione standard ?

• Li sommi quadraticamente:

  s = sqrt(s1^2 + s2^2 + ... + s12^2)
  

Concettualmente si sommano le varianze, quindi si prende la radice quadrata per ottenere la deviazione standard.

Poiché ero curioso, volevo conoscere la potenza media mensile media e la sua deviazione standard . Attraverso l'induzione, abbiamo bisogno di 12 distribuzioni normali che:

• somma a una media di 10,358
• somma a una varianza di 647,564

Sarebbe 12 distribuzioni mensili medie di:

• media di 10,358/12 = 863.16
• varianza di 647,564/12 = 53,963.6
• deviazione standard di sqrt(53963.6) = 232.3

Possiamo controllare le nostre distribuzioni medie mensili aggiungendole 12 volte, per vedere che sono uguali alla distribuzione annuale:

• Media: 863.16*12 = 10358 = 10,358( corretto )
• Varianza: 53963.6*12 = 647564 = 647,564( corretto )

Nota : lo lascerò a qualcuno con una conoscenza della matematica del lattice esoterico per convertire le immagini delle mie formule e formula codein formule formattate con scambio di stack.

Modifica : ho spostato il corto, al punto, rispondi in alto. Perché oggi dovevo farlo di nuovo, ma volevo ricontrollare che faccio una media delle varianze .

Questa è una vecchia domanda ma la risposta accettata non è in realtà corretta o completa. L'utente desidera calcolare la deviazione standard su dati di 12 mesi in cui la deviazione media e standard è già calcolata su ogni mese. Supponendo che il numero di campioni in ogni mese sia lo stesso, è possibile calcolare la media e la varianza del campione nel corso dell'anno dai dati di ogni mese. Per semplicità supponiamo che abbiamo due set di dati:

$X=\{x_1,....x_N\}$

$Y=\{y_1,....,y_N\}$

$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

Ora vogliamo calcolare le stesse stime per

$Z=\{x_1,....,x_N, y_1,...,y_N\}$

$\mu_x$$\sigma^2_x$

$\mu_x = \frac{\sum^N_{i=1} x_i}{N}$

$\sigma^2_x = \frac{\sum^N_{i=1} x^2_i}{N}-\mu^2_x$

Per stimare la media e la varianza rispetto all'insieme totale dobbiamo calcolare:

$\mu_z = \frac{\sum^N_{i=1} x_i +\sum^N_{i=1} y_i }{2N}= (\mu_x+\mu_y)/2$

$\sigma^2_z = \frac{\sum^N_{i=1} x^2_i +\sum^N_{i=1} y^2_i }{2N}-\mu^2_z$

$\sigma^2_z = \frac{1 }{2}(\frac{\sum^N_{i=1} x^2_i}{N}-\mu^2_x + \frac{\sum^N_{i=1} y^2_i}{N}-\mu^2_y )+\frac{1 }{2}(\mu^2_x+\mu^2_y) -(\frac{\mu_x+\mu_y}{2})^2$

$\sigma^2_z = \frac{1 }{2}(\sigma^2_x+\sigma^2_y )+(\frac{\mu_x-\mu_y}{2})^2$

Quindi, se si ha la varianza su ciascun sottoinsieme e si desidera la varianza sull'intero insieme, è possibile calcolare la media delle varianze di ciascun sottoinsieme se tutte hanno la stessa media. Altrimenti, è necessario aggiungere la varianza della media di ciascun sottoinsieme.

Diciamo che nella prima metà dell'anno produciamo esattamente 1000 MWh al giorno e nella seconda metà produciamo 2000 MWh al giorno. Quindi la media e la varianza della produzione di energia nella prima e seconda metà sono 1000 e 2000 per media e la varianza è 0 per entrambe le metà. Ora ci sono due cose diverse che potrebbero interessarci:

1- Vogliamo calcolare la varianza della produzione di energia per tutto l'anno : quindi facendo una media delle due varianze arriviamo a zero, il che non è corretto poiché l'energia al giorno per tutto l'anno non è costante. In questo caso è necessario aggiungere la varianza di tutti i mezzi di ciascun sottoinsieme. Matematicamente in questo caso la variabile casuale di interesse è la produzione di energia al giorno. Abbiamo statistiche di esempio su sottoinsiemi e vogliamo calcolare le statistiche di esempio su un tempo più lungo.

2- Vogliamo calcolare la varianza della produzione di energia all'anno: in altre parole siamo interessati a quanta produzione di energia cambia da un anno all'altro. In questo caso la media della varianza porta alla risposta corretta che è 0, poiché in ogni anno produciamo esattamente 1500 MHW in media. Matematicamente in questo caso la variabile casuale di interesse è la media della produzione di energia al giorno in cui la media viene effettuata durante l'intero anno.

Credo che ciò a cui potresti essere veramente interessato sia l' errore standard piuttosto che la deviazione standard.

L'errore standard della media (SEM) è la deviazione standard della stima della media campionaria di una media della popolazione, e questo ti darà una misura di quanto sia buona la tua stima MWh annuale.

$n$

Vorrei sottolineare ancora una volta l'erroneità in parte della risposta accettata. La formulazione della domanda porta alla confusione.

La domanda ha Average e StdDev di ogni mese, ma non è chiaro quale tipo di sottoinsieme viene utilizzato. È la media di 1 turbina eolica dell'intera azienda o la media giornaliera dell'intera azienda? Se è la media giornaliera per ogni mese, non è possibile sommare la media mensile per ottenere la media annuale perché non hanno lo stesso denominatore. Se è la media unitaria, dovrebbe essere la domanda

Possiamo dire che nell'anno medio ogni turbina nel parco eolico produce 10.358 MWh, ...

Invece di

Possiamo dire che nell'anno medio il parco eolico produce 10.358 MWh, ...

Inoltre, la deviazione standard o la varianza è il confronto con la media dell'insieme. NON contiene alcuna informazione relativa alla media dell'intero set.

L'immagine non è necessaria molto corretta ma trasmette l'idea generale. Immaginiamo l'output di 1 parco eolico come nell'immagine. Come puoi vedere, la varianza "locale" non ha nulla a che fare con la varianza "globale", indipendentemente da come li aggiungi o moltiplichi. Non è possibile prevedere la varianza dell'anno utilizzando la varianza di 2 semestri. Quindi, nella risposta accettata, mentre il calcolo della somma è corretto, la divisione per 12 per ottenere il numero mensile non significa nulla. . Delle tre sezioni, la prima e l'ultima sono sbagliate, la seconda ha ragione.

Ancora una volta, è un'applicazione molto sbagliata, per favore non seguirla o potrebbe metterti nei guai. Calcolato solo per tutto, usando l'output annuale / mensile totale di ogni unità come punti dati a seconda che tu voglia un numero annuale o mensile, quella dovrebbe essere la risposta corretta. Probabilmente vuoi qualcosa del genere. Questi sono i miei numeri generati casualmente. Se hai i dati, il risultato nella cella O2 dovrebbe essere la tua risposta.