Confronto da 0/10 a 0/20

Quando si discute delle percentuali di raggiungimento delle attività, c'è un modo per dimostrare che 0 tentativi su 20 sono "peggiori" di 0 tentativi su 10?

probability sampling

— Vinne
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Potresti provare a usare en.wikipedia.org/wiki/Additive_s

— smoothing

Come fai a sapere che è peggio? Ad esempio, se fossero possibili solo 10 tentativi, allora non sai quale sarebbe il punteggio con più tentativi.

— Tim

Forse un intervallo di confidenza per la proporzione stimata?

— mdewey,

Questa mi sembra una domanda ragionevole. Si basa su un'intuizione perfettamente normale che può essere discussa e ci sono modi statistici (ad esempio Bayesian) per affrontare il problema. Sto votando per lasciare aperto.

— gung - Ripristina Monica

Sono d'accordo con @gung. Questa è una buona domanda

— Alexis,

Risposte:

Supponiamo che conosciamo la probabilità di successo in un tentativo. In questo caso calcoliamo la probabilità di 0 su 10 e 0 su 20 casi.

Tuttavia, in questo caso facciamo il contrario. Non conosciamo la probabilità, abbiamo i dati e proviamo a stimare la probabilità.

Più casi abbiamo, più possiamo essere certi dei risultati. Se lancerò una moneta e ne uscirà testa, non sarai certo che sia a doppia testa. Se lo lancerò 1.000 volte e saranno tutte teste, è improbabile che sia bilanciato.

Ci sono metodi che sono stati progettati per considerare il numero di piste quando si danno le stime. Uno di questi è l' additivo addolcimento del commento di @abukaj sopra. Nel livellamento additivo aggiungiamo ulteriori pseudo campioni in considerazione. Nel nostro caso, invece della traccia che abbiamo visto, ne aggiungiamo altri due: uno di successo e uno di successo.

$\frac{1+0}{10 +1 +1}$ $\frac{1}{12}$
$\frac{1+0}{20 +1 +1}$ $\frac{1}{22}$

Si noti che il livellamento additivo è solo un metodo di stima. Otterrai risultati diversi con metodi diversi. Anche con il livellamento additivo stesso, si otterrebbero risultati diversi se si aggiungessero 4 pseudo campioni.

$\frac{1}{\sqrt{n}}$ $\sqrt{2}$

La media in entrambi i casi è 0. Prendiamo un livello di confidenza del 90% (z = 1.645)

$\frac{1.645}{\sqrt{10}}$
$\frac{1.645}{\sqrt{20}}$

In caso di dati mancanti, c'è incertezza. Le ipotesi che fai e i dati esterni che utilizzerai cambieranno ciò che otterrai.

— DaL
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Grazie mille Dan Levin. La tua risposta fu abbastanza chiara da poter essere seguita da un non matematico, e tuttavia abbastanza solida da consentirmi di accettare intuitivamente la tua spiegazione. Grazie a tutti i commentatori per il vostro contributo.

— vinne,

Estendendo l'idea di invocare intervalli di confidenza, esiste un concetto di intervallo binomiale esatto.

$p$ $q=1-p$ $k$ $n$

p_{n, k} = (\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k} = \frac{n!}{k! (n - k)!} p^{k} q^{n - k}

$p_{n,k} = {n \choose k} p^k q^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$

$p$

p_{n, 0} = (1 - p)^{n}

$p_{n,0}=(1-p)^n$

$p_{n,0}=5\%$ $n=20$ $[0\%,13.9\%]$ $n=10$ $[0\%,25.9\%]$ $n=20$ $n=10$ $[13.9\%,25.9\%]$ $n=10$

— Stask
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Un approccio bayesiano

$X_i$ $i=1,\ldots n$ $p$
$p$ $\alpha$ $\beta$

La funzione di probabilità è Bernoulli e la distribuzione Beta è un coniugato precedente alla distribuzione di Bernoulli, quindi il posteriore segue la distribuzione Beta. Inoltre, il posteriore è parametrizzato da:

\hat{α} = α + \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \hat{β} = β + n - \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\hat{\alpha} = \alpha + \sum_{i=1}^n X_i \quad \quad \hat{\beta} = \beta + n - \sum_{i=1}^n X_i$

Di conseguenza:

\begin{aligned} E [p ∣ X_{1}, \dots, X_{n}] & = \frac{\hat{α}}{\hat{α} + \hat{β}} \\ = \frac{α + \sum_{i = 1}^{n} X_{i}}{α + β + n} \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{E}[p \mid X_1, \ldots, X_n] &= \frac{\hat{\alpha}}{\hat{\alpha} + \hat{\beta}}\\ &= \frac{\alpha + \sum_{i=1}^n X_i }{\alpha + \beta + n} \end{align*}$

$p$ $\frac{\alpha}{\alpha + \beta + 10}$ $p$ $\frac{\alpha}{\alpha + \beta + 20}$ $p$

$p$

— Matthew Gunn
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