Perché la regressione lineare ha ipotesi sul modello lineare residuo ma generalizzato ha ipotesi sulla risposta?

Perché la regressione lineare e il modello generalizzato hanno ipotesi incoerenti?

• Nella regressione lineare, assumiamo che il residuo derivi dalla forma gaussiana
• In altre regressioni (regressione logistica, regressione del veleno), assumiamo che la risposta provenga da una certa distribuzione (binomiale, povertà ecc.).

Perché a volte assumono il tempo residuo e altri assumono in risposta? È perché vogliamo derivare proprietà diverse?

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EDIT: Penso che Mark999 mostra che due forme sono uguali. Tuttavia, ho un ulteriore dubbio su iid:

Altro mio quesiton, ci sono ipotesi sulla regressione logistica? mostra che il modello lineare generalizzato non ha ipotesi (indipendente ma non identico)

È vero che per la regressione lineare, se poniamo ipotesi sul residuo , avremo iid, ma se poniamo ipotesi sulla risposta , avremo campioni indipendenti ma non identici (diversi Gaussiani con differenti )?$\mu$

La regressione lineare semplice con errori gaussiani è un attributo molto utile che non si generalizza ai modelli lineari generalizzati.

Nei modelli lineari generalizzati, la risposta segue una certa distribuzione data la media . La regressione lineare segue questo modello; se abbiamo

$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$

con $\epsilon_i \sim N(0, \sigma)$

allora abbiamo anche

$y_i \sim N(\beta_0 + \beta_1 x_i, \sigma)$

Va bene, quindi la risposta segue la distribuzione data per i modelli lineari generalizzati, ma per la regressione lineare abbiamo anche che i residui seguono una distribuzione gaussiana. Perché si sottolinea che i residui sono normali quando questa non è la regola generalizzata? Bene, perché è la regola molto più utile. La cosa bella nel pensare alla normalità dei residui è che è molto più facile da esaminare. Se sottraiamo le medie stimate, tutti i residui dovrebbero avere all'incirca la stessa varianza e all'incirca la stessa media (0) e saranno approssimativamente distribuiti normalmente (nota: dico "approssimativamente" perché se non abbiamo stime perfette della parametri di regressione, che ovviamente non lo facciamo, la varianza delle stime di $\epsilon_i$avrà varianze diverse in base agli intervalli di . Ma si spera che ci sia abbastanza precisione nelle stime che questo è ignorabile!).$x$

D'altra parte, guardando il non aggiustato s', non posso davvero dire se sono normali, se tutti hanno mezzi differenti. Ad esempio, considera il seguente modello:$y_i$

$y_i = 0 + 2 \times x_i + \epsilon_i$

con e x i ∼ Bernoulli ( p = 0,5 $\epsilon_i \sim N(0, 0.2)$$x_i \sim \text{Bernoulli}(p = 0.5)$

Poi il $y_i$ sarà altamente bimodale, ma non violare i presupposti della regressione lineare! D'altra parte, i residui seguiranno una distribuzione approssimativamente normale.

Ecco un po 'di Rcodice per illustrare.

x <- rbinom(1000, size = 1, prob = 0.5)
y <- 2 * x + rnorm(1000, sd = 0.2)
fit <- lm(y ~ x)
resids <- residuals(fit)
par(mfrow = c(1,2))
hist(y, main = 'Distribution of Responses')
hist(resids, main = 'Distribution of Residuals')

Le ipotesi non sono incoerenti. Se, per$i = 1, \ldots, n$, supponi

$$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{i1} + \ldots + \beta_k X_{ik} + \epsilon_i,$$ con gli errori $\epsilon_i$ essendo normalmente distribuito con media 0 e varianza $\sigma^2$, è lo stesso che supporre che sia condizionato $X_{i1}, \ldots, X_{ik}$, the response $Y_i$ is normally distributed with mean $\beta_0 + \beta_1 X_{i1} + \ldots + \beta_k X_{ik}$ and variance $\sigma^2$.

This is because having conditioned on $X_{i1}, \ldots, X_{ik}$, we treat $\beta_0 + \beta_1 X_{i1} + \ldots + \beta_k X_{ik}$ as being constant.

The usual multiple linear regression model with normal errors is a generalised linear model with normal response and identity link.