L'uso della deviazione standard si basa sul presupposto di una distribuzione normale?

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Mi chiedo se la deviazione standard sia sempre stata fondata sul presupposto di una distribuzione normale. In altre parole, se il campione non è normalmente distribuito, allora usare la deviazione standard dovrebbe essere considerato un errore?

normal-distribution standard-deviation

— Dougal
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Una distribuzione uniforme ha una deviazione standard, come potrebbe essere un "errore"?

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No. L'uso della deviazione standard non presuppone la normalità.

La varianza di una variabile casuale è definita come . Finché esiste la varianza, esiste anche la deviazione standard. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$

È possibile utilizzare la varianza o la deviazione standard ogni volta che esistono i due. La varianza emerge in innumerevoli situazioni. $\operatorname{Var}(X)$

Ci sono teoremi speciali, lemmi ecc ... per il caso speciale in cui segue la distribuzione normale. $X$

Un uso comune della deviazione standard che dipende dalla normalità:

Se segue la distribuzione normale, allora c'è circa una probabilità del 95% che rientri in due deviazioni standard della media. $X$ $X$

Questa affermazione è vera se segue la distribuzione normale (e molte altre) ma non è vera in generale. $X$

Un uso comune della varianza che non dipende dalla normalità:

Sia una variabile casuale con media e varianza . Definire per come variabili casuali indipendenti, ciascuna dopo la distribuzione identica come . $X$ $\operatorname{E}[X] = \mu$ $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$ $X_i$ $i=1, \ldots, n$ $X$

Definire la media del campione in base a osservazioni come: $n$

{\bar{X}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

$\bar{X}_n$ $\mu$ $\frac{\sigma^2}{n}$ $\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $n \rightarrow \infty$

$\bar{X}_n$ $n$ $\frac{\sigma^2}{n}$ $X$ $\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$ $X$ $n$ $X$

$X$ $X$

— Matthew Gunn
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$1$

@whuber Sì, avevo iniziato a scrivere un esempio CLT (e ora l'ho aggiunto). Il CLT è un motivo estremamente pratico per preoccuparsi della varianza.

— Matthew Gunn,

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+1. Ma nota che mentre la varianza (insieme alla media) fornisce una descrizione completa nel caso normale, per una distribuzione non normale questo potrebbe non essere più il caso, e altri d3scriptor dei dati potrebbero essere molto meglio

— kjetil b halvorsen

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$S^2$ $\hat{\sigma}^2_{ML}$ $\mathrm{Var}[X_i]$

— zen
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