Semplifica la somma delle combinazioni con lo stesso n, tutti i possibili valori di k

C'è un modo per semplificare questa equazione?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

O più in generale,

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics

— Idr
fonte

Un negozio di gelati produce gelati non aromatizzati e quindi aggiunge uno o più di 5 concentrati di aromi (vaniglia, cioccolato, fondente, menta, marmellata) per creare i vari gelati disponibili per la vendita nel negozio. Quindi il numero di sapori diversi è

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$ . Prova a calcolare il numero di sapori a mano. Per ulteriore credito, identificare il negozio.

— Dilip Sarwate,

Risposte:

Vedere

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

che dice

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Puoi dimostrarlo usando il teorema binomiale dove . $x=y=1$

Ora, poiché per qualsiasi, ne consegue che $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

Nel tuo caso , quindi la risposta è . $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

— macro
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Grazie. Stavo cercando di capire tutti i possibili set di funzionalità di input per una regressione, quindi la mia mente inizia con le statistiche ma suppongo che questa domanda non sia stat in sé.

— Idr,

Nessun problema. Ti preghiamo di prendere in considerazione l'upgrade e / o l'accettazione delle risposte che hai trovato utili :)

— Macro

Ovviamente. Inoltre credo che i tuoi dovrei essere k.

— Idr,

hai ragione - risolto.

— Macro

Un modo semplice per vedere questo è: prenderai ogni elemento (1) o no (0). Quindi puoi rappresentare tutto il numero binario con n bit: 2 ^ n. E questo equivale a tutte le combinazioni con un oggetto rimosso, più tutte le combinazioni con 2 oggetti rimossi, e così via .. = somma di C (k / N).

— Snicolas,

Compiti a casa?

Suggerimento:

Ricorda il teorema binomiale:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

Ora, se solo potessi trovare xey in modo che sia costante ... $x^ky^{n-k}$

— Erik
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