Qual è la ragione per cui usiamo il logaritmo naturale (ln) piuttosto che accedere alla base 10 per specificare la funzione in econometria?

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Qual è la ragione per cui usiamo il logaritmo naturale (ln) piuttosto che accedere alla base 10 per specificare le funzioni in econometria?

econometrics

Controlla questo per i dettagli youtube.com/watch?v=IXhucU6214M&feature=youtu.be questo spiegherà perché i log naturali sono calcolati con ragioni e riferimenti degli autori famosi

— Amit Kumar

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Nel contesto della regressione lineare nelle scienze sociali, Gelman e Hill scrivono [1]:

Preferiamo i log naturali (cioè la base dei logaritmi ) perché, come sopra descritto, i coefficienti sulla scala dei log naturali sono direttamente interpretabili come differenze proporzionali approssimative: con un coefficiente di 0,06, una differenza di 1 in corrisponde a un 6 approssimativo % di differenza in e così via. $e$ $x$ $y$

[1] Andrew Gelman e Jennifer Hill (2007). Analisi dei dati mediante regressione e modelli multilivello / gerarchici . Cambridge University Press: Cambridge; New York, pagg. 60-61.

— fmark
fonte

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+1: per motivi concreti preferire il logaritmo naturale.

— Neil G

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Più in generale, la funzione esponenziale è l'unica funzione continua uguale alla sua derivata.

— user603,

1

questo non si applicherebbe se applichiamo log10 alle variabili dipendenti e indipendenti?

— cs0815,

2

@ cs0815 se si applica l'espansione di Taylor attorno al punto b

alla funzione esponenziale

, con

quindi ottieni i primi due termini:

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (b)}{n!} (x - b)^{n}

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(b)}{n!}(x-b)^n$

f (x) = a^{x}

$f(x)=a^x$

f^{(n)} (x) = l n (a)^{n} a^{x}

$f^{(n)}(x) = ln(a)^n a^x$

e il termine

diventa 1 per

tale che puoi usare

, che è comunque vero solo per la piccola x . Inoltre puoi semplicemente provarlo exp (1.06) / exp (1) = 1.0618 e 10 ^ 1.06 / 10 ^ 1 = 1.1418154

f (b + x) = f (b) + l n (a) f (b) x + O (x^{2})

$f(b+x) = f(b) + ln(a)f(b)x + \mathcal{O}(x^2)$

l n (a)

$ln(a)$

a = e

$a=e$

f (b + x) \sim f (b) (1 + x)

$f(b+x) \sim f(b) (1+x)$

— Sextus Empiricus,

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Non esiste una ragione molto forte per preferire i logaritmi naturali. Supponiamo di stimare il modello:

ln Y = a + b ln X

La relazione tra logaritmi naturali (ln) e base 10 (log) è ln X = 2.303 log X (sorgente) . Quindi il modello è equivalente a:

2.303 log Y = a + 2.303b log X

oppure, inserendo a / 2.303 = a *:

log Y = a* + b log X

È possibile stimare entrambe le forme del modello, con risultati equivalenti.

Un leggero vantaggio dei logaritmi naturali è che il loro primo differenziale è più semplice: d (ln X) / dX = 1 / X, mentre d (log X) / dX = 1 / ((ln 10) X) (sorgente) .

Per una fonte in un libro di testo di econometria che afferma che entrambe le forme di logaritmi potrebbero essere utilizzate, vedi Gujarati, Essentials of Econometrics 3rd edition 2006 p 288.

— Adam Bailey
fonte

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Il log naturale è anche utile in una regressione di serie temporali semi-log poiché i coefficienti stimati possono essere interpretati come tassi di crescita composti in modo continuo.

— Jason B,

6

Penso che il logaritmo naturale sia usato perché l'esponenziale è spesso usato quando si fa il calcolo degli interessi / crescita.

$F(t)=N.e^{rt}$

Dato che si finisce con esponenziale nel calcolo, il modo migliore per sbarazzarsene è usando il logaritmo naturale e se si esegue l'operazione inversa, il registro naturale ti darà il tempo necessario per raggiungere una certa crescita.

Inoltre, l'aspetto positivo dei logaritmi (sia naturali che non) è il fatto che è possibile trasformare le moltiplicazioni in aggiunte.

Per quanto riguarda le spiegazioni matematiche del perché finiamo per usare un esponenziale quando si combina l'interesse, lo si può trovare qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Continuously_compounded_interest#Periodic_compounding

Fondamentalmente, è necessario prendere il limite per avere un numero infinito di pagamento del tasso di interesse, che finisce per essere la definizione di esponenziale

Anche se il tempo continuo non è ampiamente utilizzato nella vita reale (paghi i tuoi mutui con pagamenti mensili, non tutti i secondi ..), quel tipo di calcolo viene spesso utilizzato dagli analisti quantitativi.

— Mesop
fonte

Probabilmente avrei dato una risposta come questa. Anche il punto che non importa nella modellazione è buono. Potremmo usare altrettanto facilmente la base 2. La differenza è solo un fattore costante

— Michael R. Chernick,

N r^{t}

$Nr^t$

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Un altro motivo per cui agli economisti piace usare le regressioni con forme funzionali logaritmiche è quello economico: i coefficienti possono essere intesi come elasticità di una funzione di Cobb-Douglas. Questa funzione è probabilmente la più comune utilizzata dagli economisti per analizzare le questioni relative al comportamento microeconomico (preferenze dei consumatori, tecnologia, funzioni di produzione) e alle questioni macroeconomiche (crescita economica). Il termine elasticità è usato per descrivere il grado di risposta di un cambiamento di una variabile rispetto ad un altro.

— user21259
fonte

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$e^{-{1\over2}x^2}$

— Wayne
fonte

1

(\sqrt{e})^{- x^{2}}

$(\sqrt{e})^{-x^2}$

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L'unica ragione è che l' espansione di Taylor offre un'interpretazione intuitiva del risultato.

Δ \ln Y_{t} = \ln Y_{t} - \ln Y_{t - 1} = \ln \frac{Y_{t}}{Y_{t - 1}} = \ln (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})

$\Delta \ln Y_t=\ln Y_t-\ln Y_{t-1}=\ln\frac{Y_{t}}{Y_{t-1}}=\ln\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$

\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

Δ \ln Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}} - \frac{1}{2} {(\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})}^{2} + ...

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}-\frac 1 2 \left(\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)^2+\dots$

Δ \ln Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

\dots = \dots + β \times Δ \ln Y_{t}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\ln Y_t$

β

$\beta$

\dots = \dots + β \times Δ \log_{10} Y_{t} \approx \dots + β \times \frac{1}{\ln (10)} \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\log_{10} Y_t\\ \approx\dots+\beta\times\frac 1 {\ln(10)}\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

β

$\beta$

— Aksakal
fonte

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Vi è una buona ragione per usare la trasformazione del log della variabile se si pensa che la funzione inversa del logaritmo è la funzione esponenziale che è una versione continua del componimento. La variabile economica che cresce intorno al 10% alla volta può essere trasformata nella variabile con la sua media intorno al 10 (più una costante). Non puoi farlo con la trasformazione del logaritmo di base diversa.

— Ikuyasu
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