Come posso interpretare la mia regressione con le prime variabili differenziate?

Ho due serie temporali:

1. Un proxy per il premio per il rischio di mercato (ERP; linea rossa)
2. Il tasso privo di rischio, determinato da un titolo di Stato (linea blu)

Voglio verificare se il tasso privo di rischio può spiegare l'ERP. Con la presente, ho sostanzialmente seguito il consiglio di Tsay (2010, 3a edizione, p. 96): Financial Time Series:

1. Adatta il modello di regressione lineare e controlla le correlazioni seriali dei residui.
2. Se la serie residua è non-unitàarity-root, prendere la prima differenza sia delle variabili dipendenti che esplicative.

Facendo il primo passo, ottengo i seguenti risultati:

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     6.77019    0.25103   26.97   <2e-16 ***
Risk_Free_Rate -0.65320    0.04123  -15.84   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Come previsto dalla figura, la relazione è negativa e significativa. Tuttavia, i residui sono correlati in serie:

Pertanto, per prima cosa differisco sia la variabile dipendente che quella esplicativa. Ecco cosa ottengo:

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    -0.002077   0.016497  -0.126      0.9    
Risk_Free_Rate -0.958267   0.053731 -17.834   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

E l'ACF dei residui assomiglia a:

Questo risultato sembra eccezionale: in primo luogo, i residui ora non sono correlati. In secondo luogo, la relazione sembra essere più negativa ora.

Ecco le mie domande (probabilmente ti sei già chiesto ;-) La prima regressione, avrei interpretato come (problemi econometrici a parte) "se il tasso privo di rischio aumenta di un punto percentuale, l'ERP diminuisce di 0,65 punti percentuali". In realtà, dopo aver riflettuto su questo per un po ', interpreterei la seconda regressione allo stesso modo (ma ora risulta una caduta di 0,96 punti percentuali). Questa interpretazione è corretta? Mi sembra strano trasformare le mie variabili, ma non devo cambiare la mia interpretazione. Se questo, tuttavia, è corretto, perché i risultati cambiano? È solo il risultato di problemi econometrici? Se è così, qualcuno ha un'idea del perché la mia seconda regressione sembra essere ancora "migliore"? Normalmente, ho sempre letto che puoi avere correlazioni spurie che svaniscono dopo averlo fatto correttamente. Qui,

$$\begin{equation*} y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \beta_2 t + \epsilon_t. \end{equation*}$$ $y_{t-1}$$\beta_0 + \beta_1 x_{t-1} + \beta_2 ({t-1}) + \epsilon_{t-1}$$y_{t-1}$ $$\begin{equation*} \Delta y_t = \beta_1 \Delta x_t + \beta_2 + \Delta \epsilon_t. \end{equation*}$$ $\Delta x$$\beta_1$ nel modello originale.

$$\begin{equation*} \epsilon_t = \sum_{s=0}^{t-1}{\nu_s}, \end{equation*}$$ $\nu_s$ fosse rumore bianco, l'errore differenziato è rumore bianco.

$\epsilon$

Per questi motivi, è importante differenziare solo i processi che non sono fissi a causa di radici unitarie e che sono dannosi per i cosiddetti trend stazionari.

(Una radice unitaria fa cambiare la varianza di una serie ed esplode nel tempo; il valore atteso di questa serie è costante, tuttavia. Un processo stazionario di tendenza ha proprietà opposte.)

La prima differenziazione rimuove le tendenze lineari che sembrano persistere nei residui originali. Sembra che la prima differenziazione abbia rimosso la tendenza nei residui e ti rimangono residui sostanzialmente non correlati. Sto pensando che forse la tendenza nei residui ha nascosto parte della relazione negativa tra ERP e tasso privo di rischio e che sarebbe la ragione per cui il modello mostra una relazione più forte dopo la differenziazione.