Perché nei quadrati latini si dice che le righe, i trattamenti e le colonne siano ortogonali

Ho sempre sentito "ortogonale" nell'area della geometria (nota anche che non sono un madrelingua inglese). Non capisco quanto segue per i quadrati latini (una citazione da un libro di testo):

Ogni trattamento (ABCD) appare una volta per ogni riga. Quindi i trattamenti e le file sono ortogonali. ... Righe e colonne sono ortogonali ai trattamenti.

$$\begin{matrix}\,&1&2&3&4\\1&A&B&C&D\\2&B&C&D&A\\3&C&D&A&B\\4&D&A&B&C\end{matrix}$$

Cosa si intende qui per ortogonalità?

cosa significa o cosa fa il quadrato latino

L'ortogonalità delle colonne e delle righe significa che il loro effetto viene rimosso dai valori di aspettativa per alcuni trattamenti (A, B, C, D).j $i$$j$$k$

Vedi la formula (per un modello senza effetti incrociati)

$Y_{ijk} = \alpha + c_i + r_j + \beta_k + \epsilon_{ijk}$

la cui aspettativa per un certo livello di (A, B, C o D) diventa la seguente$k$

$E(Y_{ijk} \vert k) = \alpha + \beta_k$

purché il trattamento non sia correlato (è ortogonale a) con le righe e le colonne.

il trattamento per A (e similmente per B, C e D) viene testato lo stesso numero di volte in ogni riga e quindi è possibile eliminare (mediamente) l'effetto della riga sul valore di aspettativa del trattamento A.

ortogonalità

Non sono sicuro che questa sia l'origine dell'etimologia, ma questo è ciò che immagino con l'ortogonalità

Nell'esempio sono disponibili i seguenti test (colonna, riga, trattamento):

1,1,A
1,2,B
1,3,C
1,4,D
2,1,B
2,2,C
2,3,D
2,4,A
3,1,C
3,2,D
3,3,B
3,4,A
4,1,D
4,2,A
4,3,B
4,4,C

se lo prendi come una matrice e calcoli , ottieni negli elementi non diagonali una somma di prodotti in cui ogni termine ricorre lo stesso numero di volte.M T$M$$M^TM$

ad esempio il prodotto della prima e terza colonna $(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4) \cdot (A,B,C,D,B,C,D,A,C,D,A,B,D,A,B,C) = (1+2+3+4)(A+B+C+D) = 16 \mu_i \mu_j$

e questa proprietà può essere associata all'ortogonalità delle colonne in una matrice