Qual è il più piccolo

Definisci la stima del lazo dove riga della matrice di progettazione è un vettore di covariate per spiegare la risposta stocastica (per ).

{\hat{β}}^{λ} = \arg min_{β \in R^{p}} \frac{1}{2 n} ‖ y - X β ‖_{2}^{2} + λ ‖ β ‖_{1},

$\hat\beta^\lambda = \arg\min_{\beta \in \mathbb{R}^p} \frac{1}{2n} \|y - X \beta\|_2^2 + \lambda \|\beta\|_1,$

i^{t h}

$i^{th}$

x_{i} \in R^{p}

$x_i \in \mathbb{R}^p$

X \in R^{n \times p}

$X \in \mathbb{R}^{n \times p}$

y_{i}

$y_i$

i = 1, \dots n

$i=1, \dots n$

Sappiamo che per $\lambda \geq \frac{1}{n} \|X^T y\|_\infty$ , la stima del lazo $\hat\beta^\lambda = 0$ . (Vedi, ad esempio, l' ambito del parametro di ottimizzazione di Lasso e Ridge .) In un'altra notazione, questo sta esprimendo che $\lambda_\max = \frac{1}{n} \|X^T y\|_\infty$ . Si noti che $\lambda_\mathrm{max} = \sup_{\hat\beta^\lambda \ne 0} \lambda.$ Possiamo vederlo visivamente con la seguente immagine che mostra il percorso della soluzione lazo:

Si noti che sul lontano lato destro della trama, tutti i coefficienti sono pari a zero. Questo accade nel punto $\lambda_\mathrm{max}$ sopra descritto.

Da questa trama, notiamo anche che all'estrema sinistra, tutti i coefficienti sono diversi da zero: qual è il valore di a cui ogni componente di è inizialmente zero? Cioè, qual è uguale a, in funzione di e ? Sono interessato a una soluzione a forma chiusa. In particolare, non mi interessa una soluzione algoritmica, come, ad esempio, suggerire che LARS potrebbe trovare il nodo attraverso il calcolo. $\lambda$ $\hat\beta^\lambda$

λ_{min} = min_{\exists j s . t . {\hat{β}}_{j} = 0} λ

$\lambda_\textrm{min} = \min_{\exists j \, \mathrm{ s.t. } \, \hat\beta_j = 0} \lambda$

X

$X$

y

$y$

Nonostante i miei interessi, sembra che potrebbe non essere disponibile in forma chiusa, poiché, altrimenti, i pacchetti di calcolo lazo ne trarrebbero probabilmente vantaggio quando determinano la profondità del parametro tuning durante la validazione incrociata. Alla luce di ciò, sono interessato a tutto ciò che può essere teoricamente mostrato su e (ancora) particolarmente interessato a una forma chiusa. $\lambda_\mathrm{min}$ $\lambda_\mathrm{min}$

lasso regularization

— user795305
fonte

Ciò è affermato e dimostrato nel documento glmnet

— Matthew Drury,

@MatthewDrury Grazie per averlo condiviso! Tuttavia, questo documento non sembra condividere ciò che sembra suggerire che facciano. In particolare, nota che il mio è il loro .

λ_{max}

$\lambda_\max$

λ_{min}

$\lambda_\min$

— user795305,

Sei sicuro che abbiamo bisogno del tag [tuning-parameter]?

— ameba dice Ripristina Monica il

hai ragione, in genere non esiste un modulo chiuso per la soluzione lazo (vedi stats.stackexchange.com/questions/174003/… ). tuttavia, almeno lars ti dice cosa sta succedendo e in quali condizioni esatte / in quale momento puoi aggiungere / eliminare una variabile. penso che qualcosa del genere sia il meglio che puoi ottenere.

— CHRRR

@chRrr Non sono sicuro che sia del tutto giusto dire: sappiamo che per . Cioè, nel caso estremo in cui la soluzione sia 0, abbiamo una forma chiusa. Sto chiedendo se simile è vero nel caso estremo in cui la stima del lazo fosse densa (cioè senza zeri). In effetti, non sono nemmeno interessato alle voci esatte di --- solo se sono zero o no.

{\hat{β}}^{λ} = 0

$\hat\beta^\lambda = 0$

λ \geq \frac{1}{n} ‖ X^{t} y ‖_{\infty}

$\lambda \geq \frac{1}{n} \|X^t y\|_\infty$

{\hat{β}}_{λ}

$\hat\beta_\lambda$

— user795305

La stima del lazo descritta nella domanda è l'equivalente del moltiplicatore di lagrange del seguente problema di ottimizzazione:

minimize f (β) subject to g (β) \leq t

${\text{minimize } f(\beta) \text{ subject to } g(\beta) \leq t}$

\begin{aligned} f (β) & = \frac{1}{2 n} | | y - X β | |_{2}^{2} \\ g (β) & = | | β | |_{1} \end{aligned}

$\begin{align} f(\beta) &= \frac{1}{2n} \vert\vert y-X\beta \vert\vert_2^2 \\ g(\beta) &= \vert\vert \beta \vert\vert_1 \end{align}$

Questa ottimizzazione ha una rappresentazione geometrica di trovare il punto di contatto tra una sfera multidimensionale e un politopo (attraversato dai vettori di X). La superficie del politopo rappresenta . Il quadrato del raggio della sfera rappresenta la funzione e viene minimizzato quando le superfici entrano in contatto. $g(\beta)$ $f(\beta)$

Le immagini seguenti forniscono una spiegazione grafica. Le immagini hanno utilizzato il seguente semplice problema con vettori di lunghezza 3 (per semplicità per poter fare un disegno):

[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1.4 \\ 1.84 \\ 0.32 \end{matrix}] = β_{1} [\begin{matrix} 0.8 \\ 0.6 \\ 0 \end{matrix}] + β_{2} [\begin{matrix} 0 \\ 0.6 \\ 0.8 \end{matrix}] + β_{3} [\begin{matrix} 0.6 \\ 0.64 \\ - 0.48 \end{matrix}] + [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ϵ_{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.4 \\ 1.84 \\ 0.32\\ \end{bmatrix} = \beta_1 \begin{bmatrix} 0.8 \\ 0.6 \\ 0\\ \end{bmatrix} +\beta_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 0.6 \\ 0.8\\ \end{bmatrix} +\beta_3 \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.64 \\ -0.48\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3\\ \end{bmatrix}$ e minimizziamo con il vincolo

ϵ_{1}^{2} + ϵ_{2}^{2} + ϵ_{3}^{2}

$\epsilon_1^2+\epsilon_2^2+\epsilon_3^2$

a b s (β_{1}) + a b s (β_{2}) + a b s (β_{3}) \leq t

$abs(\beta_1)+abs(\beta_2)+abs(\beta_3) \leq t$

Le immagini mostrano:

La superficie rossa raffigura il vincolo, un politopo attraversato da X.
E la superficie verde raffigura la superficie minimizzata, una sfera.
La linea blu mostra il percorso del lazo, le soluzioni che troviamo quando cambiamo o . $t$ $\lambda$
Il vettore verde mostra la soluzione OLS (che è stata scelta come o . $\hat{y}$ $\beta_1=\beta_2=\beta_3=1$ $\hat{y} = x_1 + x_2 + x_3$
I tre vettori neri sono , e . $x_1 = (0.8,0.6,0)$ $x_2 = (0,0.6,0.8)$ $x_3 = (0.6,0.64,-0.48)$

Mostriamo tre immagini:

Nella prima immagine solo un punto del politopo tocca la sfera . Questa immagine dimostra molto bene perché la soluzione lazo non è solo un multiplo della soluzione OLS. La direzione della soluzione OLS si aggiunge alla somma . In questo caso, solo un singolo è diverso da zero. $\vert \beta \vert_1$ $\beta_i$
Nella seconda immagine una cresta del politopo tocca la sfera (in dimensioni superiori otteniamo analoghi di dimensione superiore). In questo caso più sono diversi da zero. $\beta_i$
Nella terza immagine una sfaccettatura del politopo tocca la sfera . In questo caso tutti i sono diversi da zero $\beta_i$ .

L'intervallo di o per cui abbiamo il primo e il terzo caso può essere facilmente calcolato grazie alla loro semplice rappresentazione geometrica. $t$ $\lambda$

Caso 1: solo un singolo diverso da zero $\beta_i$

Il valore diverso da zero è quello per cui il vettore associato ha il valore assoluto più alto della covarianza con (questo è il punto del parrallelotope che si avvicina alla soluzione OLS). Possiamo calcolare il moltiplicatore di Lagrange sotto del quale abbiamo almeno un diverso da zero prendendo la derivata con $\beta_i$ $x_i$ $\hat{y}$ $\lambda_{max}$ $\beta$ $\pm\beta_i$ (il segno dipende dal fatto che aumentiamo il in direzione negativa o positiva): $\beta_i$

\frac{\partial (\frac{1}{2 n} | | y - X β | |_{2}^{2} - λ | | β | |_{1})}{\pm \partial β_{i}} = 0

$\frac{\partial ( \frac{1}{2n} \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2^2 - \lambda \vert \vert \beta \vert \vert_1 )}{\pm \partial \beta_i} = 0$

che porta a

λ_{m a x} = \frac{(\frac{1}{2 n} \frac{\partial (| | y - X β | |_{2}^{2}}{\pm \partial β_{i}})}{(\frac{| | β | |_{1})}{\pm \partial β_{i}})} = \pm \frac{\partial (\frac{1}{2 n} | | y - X β | |_{2}^{2}}{\partial β_{i}} = \pm \frac{1}{n} x_{i} \cdot y

$\lambda_{max} = \frac{ \left( \frac{1}{2n}\frac{\partial ( \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2^2}{\pm \partial \beta_i} \right) }{ \left( \frac{ \vert \vert \beta \vert \vert_1 )}{\pm \partial \beta_i}\right)} = \pm \frac{\partial ( \frac{1}{2n} \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2^2}{\partial \beta_i} = \pm \frac{1}{n} x_i \cdot y$

che equivale a $\vert \vert X^Ty \vert \vert_\infty$ menzionato nei commenti.

dove dovremmo notare che questo è vero solo per il caso speciale in cui la punta del politopo tocca la sfera ( quindi questa non è una soluzione generale , sebbene la generalizzazione sia semplice).

Caso 3: Tutti $\beta_i$ sono diversi da zero.

In questo caso, una sfaccettatura del politopo tocca la sfera. Quindi la direzione del cambiamento del percorso lazo è normale alla superficie della particolare sfaccettatura.

Il polytope ha molte sfaccettature, con contributi positivi e negativi di . Nel caso dell'ultimo passaggio del lazo, quando la soluzione del lazo è vicina alla soluzione ols, i contributi di devono essere definiti dal segno della soluzione OLS. La normale della faccetta può essere definita prendendo il gradiente della funzione , il valore della somma di beta nel punto , che è: $x_i$ $x_i$ $\vert \vert \beta(r) \vert \vert_1$ $r$

n = - \nabla_{r} (| | β (r) | |_{1}) = - \nabla_{r} (sign (\hat{β}) \cdot (X^{T} X)^{- 1} X^{T} r) = - sign (\hat{β}) \cdot (X^{T} X)^{- 1} X^{T}

$n = - \nabla_r ( \vert \vert \beta(r) \vert \vert_1) = -\nabla_r ( \text{sign} (\hat{\beta}) \cdot (X^TX)^{-1}X^Tr ) = -\text{sign} (\hat{\beta}) \cdot (X^TX)^{-1}X^T$

e il cambio equivalente di beta per questa direzione è:

{\vec{β}}_{l a s t} = (X^{T} X)^{- 1} X n = - (X^{T} X)^{- 1} X^{T} [sign (\hat{β}) \cdot (X^{T} X)^{- 1} X^{T}]

$\vec{\beta}_{last} = (X^TX)^{-1}X n = -(X^TX)^{-1}X^T [\text{sign} (\hat{\beta}) \cdot (X^TX)^{-1}X^T]$

che dopo alcuni trucchi algebrici con spostamento dei trasposi ( ) e la distribuzione delle parentesi diventa $A^TB^T = [BA]^T$

{\vec{β}}_{l a s t} = - (X^{T} X)^{- 1} sign (\hat{β})

$\vec{\beta}_{last} = - (X^TX)^{-1} \text{sign} (\hat{\beta})$

normalizziamo questa direzione:

{\vec{β}}_{l a s t, n o r m a l i z e d} = \frac{{\vec{β}}_{l a s t}}{\sum {\vec{β}}_{l a s t} \cdot s i g n (\hat{β})}

$\vec{\beta}_{last,normalized} = \frac{\vec{\beta}_{last}}{\sum \vec{\beta}_{last} \cdot sign(\hat{\beta})}$

Per trovare il $\lambda_{min}$ sotto il quale tutti i coefficienti sono diversi da zero. Dobbiamo solo tornare dalla soluzione OLS al punto in cui uno dei coefficienti è zero,

d = m i n (\frac{\hat{β}}{{\vec{β}}_{l a s t, n o r m a l i z e d}}) with the condition that \frac{\hat{β}}{{\vec{β}}_{l a s t, n o r m a l i z e d}} > 0

$d = min \left( \frac{\hat{\beta}}{\vec{\beta}_{last,normalized}} \right)\qquad \text{with the condition that } \frac{\hat{\beta}}{\vec{\beta}_{last,normalized}} >0$

e a questo punto valutiamo la derivata (come prima quando calcoliamo ). Usiamo che per una funzione quadratica abbiamo : $\lambda_{max}$ $q'(x) = 2 q(1) x$

λ_{m i n} = \frac{d}{n} | | X {\vec{β}}_{l a s t, n o r m a l i z e d} | |_{2}^{2}

$\lambda_{min} = \frac{d}{n} \vert \vert X \vec{\beta}_{last,normalized} \vert \vert_2^2$

immagini

un punto del politopo tocca la sfera, un singolo è diverso da zero: $\beta_i$

una cresta (o differire in più dimensioni) del politopo tocca la sfera, molti sono diversi da zero: $\beta_i$

una sfaccettatura del politopo tocca la sfera, tutti i sono diversi da zero: $\beta_i$

Esempio di codice:

library(lars)    
data(diabetes)
y <- diabetes$y - mean(diabetes$y)
x <- diabetes$x

# models
lmc <- coef(lm(y~0+x))
modl <- lars(diabetes$x, diabetes$y, type="lasso")

# matrix equation
d_x <- matrix(rep(x[,1],9),length(x[,1])) %*% diag(sign(lmc[-c(1)]/lmc[1]))
x_c = x[,-1]-d_x
y_c = -x[,1]

# solving equation
cof <- coefficients(lm(y_c~0+x_c))
cof <- c(1-sum(cof*sign(lmc[-c(1)]/lmc[1])),cof)

# alternatively the last direction of change in coefficients is found by:
solve(t(x) %*% x) %*% sign(lmc)

# solution by lars package
cof_m <-(coefficients(modl)[13,]-coefficients(modl)[12,])

# last step
dist <- x %*% (cof/sum(cof*sign(lmc[])))
#dist_m <- x %*% (cof_m/sum(cof_m*sign(lmc[]))) #for comparison

# calculate back to zero
shrinking_set <- which(-lmc[]/cof>0)  #only the positive values
step_last <- min((-lmc/cof)[shrinking_set])

d_err_d_beta <- step_last*sum(dist^2)

# compare
modl[4] #all computed lambda
d_err_d_beta  # lambda last change
max(t(x) %*% y) # lambda first change
enter code here

nota: queste ultime tre righe sono le più importanti

> modl[4]            # all computed lambda by algorithm
$lambda
 [1] 949.435260 889.315991 452.900969 316.074053 130.130851  88.782430  68.965221  19.981255   5.477473   5.089179
[11]   2.182250   1.310435

> d_err_d_beta       # lambda last change by calculating only last step
    xhdl 
1.310435 
> max(t(x) %*% y)    # lambda first change by max(x^T y)
[1] 949.4353

Scritto da StackExchangeStrike

— Sesto Empirico
fonte

Grazie per aver incluso le modifiche! Finora nella mia lettura, sono bloccato appena oltre la sottosezione "caso 1". Il risultato per derivato è errato poiché non include un valore assoluto o un massimo. Sappiamo, inoltre, che ci sia un errore, in quanto nella derivazione, c'è un errore segno, un luogo in cui differenziabilita è erroneamente assunto, una "scelta arbitraria" differenziare rispetto a, e un modo non corretto valutati derivato. Ad essere sinceri, non esiste un segno " " valido.

λ_{max}

$\lambda_\max$

i

$i$

=

$=$

— user795305,

L'ho corretto con un segno meno. Il cambio della beta può essere positivo o negativo. Riguardo alla massima e "scelta arbitraria" ... "per la quale il vettore associato ha la più alta covarianza con " $x_i$ $\hat{y}$

— Sisto Empirico

Grazie per l'aggiornamento! Tuttavia, ci sono ancora problemi. Ad esempio, viene valutato in modo errato.

\frac{\partial}{\partial β_{i}} ‖ y - X β ‖_{2}^{2}

$\frac{\partial}{\partial \beta_i} \|y - X \beta\|_2^2$

— user795305,

Se allora questa correlazione entra nell'equazione perché, se s = 0 allora solo il cambiamento di tangente a sta cambiando la lunghezza del vettore

β = 0

$\beta=0$

\frac{\partial}{\partial β_{i}} | | y - X β | |_{2}^{2}

$\frac{\partial}{\partial\beta_i} \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2^2$

= \frac{\partial | | y - X β | |_{2}}{\partial β_{i}} 2 | | y - X β | |_{2}

$= \frac{\partial \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2}{\partial\beta_i} 2 \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2$

= \frac{\partial | | y - s x_{i} | |_{2}}{\partial s} 2 | | y - X β | |_{2}

$= \frac{\partial \vert \vert y - s x_i \vert \vert_2}{\partial s} 2 \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2$

= 2 c o r (X_{io}, y) | | X_{io} | |_{2} | | y | |_{2}

$= 2 cor(x_i,y) \vert \vert x_i \vert \vert_2 \vert \vert y \vert \vert_2$

= 2 X_{io} \cdot y

$= 2 x_i \cdot y$

s x_{i}

$s x_i$

y

$y$

y - s x_{i}

$y - s x_i$

— Sisto Empirico

Ah, va bene, quindi c'è un limite nella tua discussione! (Stai usando entrambi e che un coefficiente è diverso da zero.) Inoltre, la seconda uguaglianza nella linea con è fuorviante poiché il segno potrebbe cambiare a causa della differenziazione del valore assoluto.

β = 0

$\beta = 0$

λ_{max}

$\lambda_\max$

— user795305,

Qual è il più piccolo

Caso 1: solo un singolo diverso da zeroβiβi\beta_i

Caso 3: Tuttiβiβi\beta_i sono diversi da zero.

immagini

Esempio di codice:

Caso 1: solo un singolo diverso da zero $\beta_i$

Caso 3: Tutti $\beta_i$ sono diversi da zero.