Che cos'è una varietà?

Nella tecnica di riduzione della dimensionalità come Analisi dei componenti principali, LDA ecc. Viene spesso utilizzato il termine collettore. Che cos'è una varietà in termini non tecnici? Se un punto appartiene ad una sfera il cui voglio ridurre, e se v'è un rumore dimensione ed ed sono incorrelati, allora i punti reali sarebbe ben separati tra loro a causa del rumore. Pertanto, sarebbe richiesto il filtro antirumore. Pertanto, la riduzione della dimensione verrebbe eseguita su . Pertanto, qui e appartengono a diverse varietà?$x$$y$$x$$y$$x$$z = x+y$$x$$y$

Sto lavorando ai dati della nuvola di punti che vengono spesso utilizzati nella visione robotica; le nuvole di punti sono rumorose a causa del rumore in acquisizione e devo ridurre il rumore prima della riduzione dimensionale. Altrimenti, otterrò una riduzione della dimensione errata. Quindi, qual è la varietà qui e il rumore è una parte della stessa varietà a cui appartiene?$x$

In termini non tecnici, una varietà è una struttura geometrica continua di dimensioni finite: una linea, una curva, un piano, una superficie, una sfera, una sfera, un cilindro, un toro, una "chiazza" ... qualcosa del genere :

È un termine generico usato dai matematici per dire "una curva" (dimensione 1) o "superficie" (dimensione 2) o un oggetto 3D (dimensione 3) ... per ogni possibile dimensione finita . Una varietà unidimensionale è semplicemente una curva (linea, cerchio ...). Una varietà bidimensionale è semplicemente una superficie (piano, sfera, toro, cilindro ...). Una varietà tridimensionale è un "oggetto pieno" (palla, cubo pieno, lo spazio 3D intorno a noi ...).$n$

Una varietà è spesso descritta da un'equazione: l'insieme di punti come è una varietà unidimensionale (un cerchio).$(x,y)$$x^2+y^2=1$

Una varietà ha la stessa dimensione ovunque. Ad esempio, se si aggiunge una linea (dimensione 1) a una sfera (dimensione 2), la struttura geometrica risultante non è una varietà.

A differenza delle nozioni più generali di spazio metrico o spazio topologico intese anche a descrivere la nostra intuizione naturale di un insieme continuo di punti, una varietà è intesa come qualcosa di localmente semplice: come uno spazio vettoriale di dimensione finita: . Ciò esclude spazi astratti (come spazi di dimensioni infinite) che spesso non riescono ad avere un significato geometrico concreto.$\mathbb{R}^n$

A differenza di uno spazio vettoriale, le varietà possono avere varie forme. Alcune varietà possono essere facilmente visualizzate (sfera, sfera ...), altre sono difficili da visualizzare, come la bottiglia di Klein o il vero piano proiettivo .

In statistica, apprendimento automatico o matematica applicata in generale, la parola "molteplice" è spesso usata per dire "come un sottospazio lineare" ma forse curva. Ogni volta che scrivi un'equazione lineare come: ottieni un sottospazio lineare (affine) (qui un piano). Di solito, quando l'equazione non è lineare come , questa è una varietà (qui una sfera allungata).x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = $3x+2y-4z=1$$x^2+2y^2+3z^2=7$

Ad esempio, l '" ipotesi multipla " di ML afferma che "i dati ad alta dimensione sono punti in una varietà a bassa dimensione con aggiunta di rumore ad alta dimensione". Puoi immaginare i punti di un cerchio 1D con qualche rumore 2D aggiunto. Sebbene i punti non siano esattamente sul cerchio, soddisfano statisticamente l'equazione . Il cerchio è la varietà sottostante: $x^2+y^2=1$

Una varietà (topologica) è uno spazio che è:$M$

$\mathbb{R}^n$$n$

$n$$c_i: M \to \mathbb{R}$$c: M \to \mathbb{R}^n$

$\mathbb{R}^N$$N \ge n$

Si noti che per rendere la "struttura" precisa qui, è necessario comprendere le nozioni di base di topologia ( def. ), Che consente di formulare nozioni precise di comportamento "locale" , e quindi "localmente" sopra. Quando dico "equivalente", intendo equivalente struttura topologica ( omeomorfo ), e quando dico "preservare la struttura" intendo la stessa cosa (crea una struttura topologica equivalente).

Si noti inoltre che per eseguire il calcolo su varietà , è necessaria una condizione aggiuntiva che non segue dalle due condizioni precedenti, che sostanzialmente dice qualcosa come "i grafici sono abbastanza ben educati da permetterci di fare il calcolo". Queste sono le varietà più utilizzate nella pratica. A differenza delle varietà topologiche generali , oltre al calcolo consentono anche triangolazioni , che è molto importante in applicazioni come la tua che coinvolgono dati di nuvole di punti .

Si noti che non tutte le persone usano la stessa definizione per una varietà (topologica). Diversi autori lo definiranno come soddisfacente solo condizione (1) sopra, non necessariamente anche (2). Tuttavia, la definizione che soddisfa sia (1) che (2) è molto meglio comportata, quindi più utile per i professionisti. Ci si potrebbe aspettare intuitivamente che (1) implica (2), ma in realtà non lo è.

$\mathbb{R}^n$

In questo contesto, il termine collettore è accurato, ma è inutilmente alto contenuto di erba. Tecnicamente, una varietà è qualsiasi spazio (insieme di punti con una topologia) sufficientemente liscio e continuo (in un modo che può, con un certo sforzo, essere reso matematicamente ben definito).

Immagina lo spazio di tutti i possibili valori dei tuoi fattori originali. Dopo una tecnica di riduzione dimensionale, non tutti i punti in quello spazio sono raggiungibili. Invece, saranno raggiungibili solo punti su un sotto-spazio incorporato all'interno di quello spazio. Quel sotto-spazio incorporato sembra soddisfare la definizione matematica di una varietà. Per una tecnica di riduzione dimensionale lineare come la PCA, quel sotto-spazio è solo un sotto-spazio lineare (ad esempio un iperpiano), che è una varietà relativamente banale. Ma per la tecnica di riduzione dimensionale non lineare, quel sottospazio potrebbe essere più complicato (ad esempio un'iper-superficie curva). Ai fini dell'analisi dei dati, comprendere che si tratta di spazi secondari è molto più importante di qualsiasi inferenza che si trarrà dal sapere che soddisfano la definizione di molteplici.