Era appena arrivato sul ponte; e non guardando dove stava andando, inciampò in qualcosa e il cono d'abete uscì dalla sua zampa nel fiume.
"Disturbati," disse Pooh, mentre galleggiava lentamente sotto il ponte, e tornò indietro per prendere un altro cono di abete che aveva una rima. Ma poi pensò che avrebbe semplicemente guardato il fiume, perché era una specie di giornata serena, quindi si sdraiò e lo guardò, e scivolò via lentamente sotto di lui. . . e all'improvviso, anche il suo cono di abete stava scivolando via.
"È divertente" disse Pooh. "L'ho lasciato cadere dall'altra parte," disse Pooh, "ed è uscito da questa parte! Mi chiedo se lo farebbe di nuovo?"
AA Milne, The House at Pooh Corner (capitolo VI. In cui Pooh inventa un nuovo gioco e si unisce a eeyore.)
Ecco un'immagine del flusso lungo la superficie dell'acqua:
Le frecce mostrano la direzione del flusso e sono collegate da linee di flusso. Un cono di abete tenderà a seguire la linea di flusso in cui cade. Ma non lo fa sempre allo stesso modo ogni volta, anche quando viene lasciato cadere nello stesso punto del ruscello: variazioni casuali lungo il suo percorso, causate da turbolenze nell'acqua, vento e altri capricci della natura danno calci ai vicini linee di flusso.
Qui, il cono di abete è stato lasciato cadere vicino all'angolo in alto a destra. Seguiva più o meno le linee del torrente - che convergono e scorrono verso il basso e verso sinistra - ma ci sono volute piccole deviazioni lungo il percorso.
Un "processo autoregressivo" (processo AR) è una sequenza di numeri che si ritiene comportino come determinati flussi. L'illustrazione bidimensionale corrisponde a un processo in cui ogni numero è determinato dai suoi due valori precedenti, più una "deviazione" casuale. L'analogia viene fatta interpretando ogni coppia successiva nella sequenza come coordinate di un punto nel flusso. Istante per istante, il flusso del flusso cambia le coordinate del cono di abete nello stesso modo matematico dato dal processo AR.
Possiamo recuperare il processo originale dall'immagine basata sul flusso scrivendo le coordinate di ciascun punto occupato dal cono di abete e quindi cancellando tutto tranne l'ultimo numero in ogni serie di coordinate.
La natura, e in particolare i flussi, è più ricca e varia rispetto ai flussi corrispondenti ai processi di AR. Poiché si presume che ogni numero nella sequenza dipenda nello stesso modo fisso dai suoi predecessori - a parte la parte di deviazione casuale - i flussi che illustrano i processi AR presentano modelli limitati. Sembrano davvero fluire come un ruscello, come visto qui. Possono anche apparire come i vortici attorno a uno scarico. I flussi possono avvenire al contrario, sembrando sgorgare verso l'esterno da uno scarico. E possono apparire come bocche di due corsi d'acqua che si infrangono insieme: due fonti d'acqua scorrono direttamente l'una verso l'altra e poi si dividono ai lati. Ma questo è tutto. Ad esempio, non puoi avere un flusso che scorre con vortici ai lati. I processi di AR sono troppo semplici per questo.
In questo flusso, il cono di abete fu lasciato cadere nell'angolo in basso a destra e rapidamente portato nel vortice in alto a destra, nonostante i lievi cambiamenti casuali nella posizione che subì. Ma non smetterà mai del tutto di muoversi, a causa di quegli stessi movimenti casuali che lo salvano dall'oblio. Le coordinate del cono di abete si muovono un po ', anzi, si vedono oscillare, nel complesso, attorno alle coordinate del centro del vortice. Nel primo flusso del flusso, le coordinate procedevano inevitabilmente lungo il centro del flusso, che catturò rapidamente il cono e lo portò via più velocemente di quanto le sue deviazioni casuali potessero rallentarlo: si inclinano nel tempo. Al contrario, girando intorno a un vortice esemplifica un fermoprocesso in cui viene catturato il cono di abete; che scorre via lungo il torrente, in cui il cono fuoriesce dalla vista - di tendenza - non è stazionario.
Per inciso, quando il flusso per un processo AR si allontana a valle, accelera anche . Diventa sempre più veloce mentre il cono si muove lungo di esso.
La natura di un flusso AR è determinata da alcune direzioni speciali, "caratteristiche", che di solito sono evidenti nel diagramma del flusso: le linee di flusso sembrano convergere verso o provengono da queste direzioni. Si possono sempre trovare tutte le direzioni caratteristiche quanti sono i coefficienti nel processo AR: due in queste illustrazioni. Associato a ciascuna direzione caratteristica è un numero, la sua "radice" o "autovalore". Quando la dimensione del numero è inferiore all'unità, il flusso in quella direzione caratteristica è verso una posizione centrale. Quando la dimensione della radice è maggiore dell'unità, il flusso accelera lontano da una posizione centrale.1--è dominato dalle forze casuali che colpiscono il cono. È una "passeggiata casuale". Il cono può allontanarsi lentamente ma senza accelerare.
(Alcune figure mostrano i valori di entrambe le radici nei loro titoli.)
Perfino Pooh - un orso con pochissimo cervello - riconoscerebbe che il flusso catturerà il suo cono di abete solo quando tutto il flusso è diretto verso un vortice o un vortice; altrimenti, su una di quelle deviazioni casuali il cono alla fine si troverà sotto l'influenza di quella parte del flusso con una radice maggiore di in grandezza, da cui vagherà a valle e andrà perduto per sempre. Di conseguenza, un processo AR può essere stazionario se e solo se tutti i valori caratteristici hanno dimensioni inferiori all'unità .1
Gli economisti sono forse i più grandi analisti delle serie storiche e i datori di lavoro della tecnologia dei processi di AR. Le loro serie di dati in genere non accelerano alla vista. Si preoccupano quindi solo se esiste una direzione caratteristica il cui valore può avere dimensioni pari a : una "radice unitaria". Sapere se i dati sono coerenti con un tale flusso può dire all'economista molto sul potenziale destino del suo bastoncino di cacca: cioè su ciò che accadrà in futuro. Ecco perché può essere importante testare una radice unitaria. Un bell'articolo di Wikipedia spiega alcune delle implicazioni.1
Pooh e i suoi amici hanno trovato un test empirico di stazionarietà:
Ora un giorno Pooh, Maialino, Coniglio e Roo suonavano tutti insieme. Avevano lasciato cadere i bastoncini quando Rabbit ha detto "Vai!" e poi si erano affrettati dall'altra parte del ponte, e ora erano tutti sporgenti oltre il bordo, in attesa di vedere quale bastone sarebbe uscito per primo. Ma è passato molto tempo, perché quel fiume era molto pigro quel giorno, e sembrava non importare se non ci fosse mai arrivato.
"Riesco a vedere il mio!" gridò Roo. "No, non posso, è qualcos'altro. Riesci a vedere il tuo, Maialino? Pensavo di poter vedere il mio, ma non potevo. Eccolo! No, non lo è. Riesci a vedere il tuo, Pooh? "
"No" disse Pooh.
"Mi aspetto che il mio bastone sia bloccato", ha detto Roo. "Coniglio, il mio bastone è bloccato. Il tuo bastone è bloccato, Maialino?"
"Prendono sempre più tempo di quanto pensi", ha detto Rabbit.
Questo passaggio, del 1928, potrebbe essere interpretato come il primo "test di Unit Roo".