Spiegazione intuitiva della radice dell'unità


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Come spiegheresti intuitivamente cos'è una radice unitaria, nel contesto del test radice dell'unità?

Sto pensando in un modo di spiegare molto come ho fondato in questa domanda .

Il caso con l'unità radice è che so (poco, a proposito) che il test dell'unità radice è usato per verificare la stazionarietà in una serie temporale, ma è proprio questo.

Come andresti a spiegarlo al laico o a una persona che ha studiato un corso base di probabilità e statistica?

AGGIORNARE

Ho accettato la risposta di Whuber in quanto è ciò che riflette maggiormente ciò che ho chiesto qui. Ma esorto tutti quelli che sono venuti qui a leggere anche le risposte di Patrick e Michael, poiché sono il naturale "prossimo passo" nella comprensione della Radice dell'Unità. Usano la matematica, ma in modo molto intuitivo.


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Ho valutato tutte e tre le risposte attuali a questa domanda (di Michael Chernick, di Patrick Caldon e di whuber). Nel loro insieme, credo che forniscano una comprensione approfondita della radice dell'unità, dall'intuizione ad alcune delle matematiche sottostanti. +1 per una domanda produttiva.
gung - Ripristina Monica

3
Sì, @gung, sono davvero sorpreso dalla qualità delle risposte. Ora è il mio link numero 1 quando qualcuno mi chiede di Unit Root.
Lucas Reis,

1
Non posso competere con Pooh, ma [ecco un'altra interpretazione grafica.] [1] Le ultime due serie (R ed E) non hanno una radice unitaria e non sono fisse. Puoi vedere quanto lontano vanno alla deriva. [1]: stats.stackexchange.com/a/25481/7071 .
Dimitriy V. Masterov

Risposte:


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Era appena arrivato sul ponte; e non guardando dove stava andando, inciampò in qualcosa e il cono d'abete uscì dalla sua zampa nel fiume.

"Disturbati," disse Pooh, mentre galleggiava lentamente sotto il ponte, e tornò indietro per prendere un altro cono di abete che aveva una rima. Ma poi pensò che avrebbe semplicemente guardato il fiume, perché era una specie di giornata serena, quindi si sdraiò e lo guardò, e scivolò via lentamente sotto di lui. . . e all'improvviso, anche il suo cono di abete stava scivolando via.

"È divertente" disse Pooh. "L'ho lasciato cadere dall'altra parte," disse Pooh, "ed è uscito da questa parte! Mi chiedo se lo farebbe di nuovo?"

AA Milne, The House at Pooh Corner (capitolo VI. In cui Pooh inventa un nuovo gioco e si unisce a eeyore.)

Ecco un'immagine del flusso lungo la superficie dell'acqua:

Pooh stick 1

Le frecce mostrano la direzione del flusso e sono collegate da linee di flusso. Un cono di abete tenderà a seguire la linea di flusso in cui cade. Ma non lo fa sempre allo stesso modo ogni volta, anche quando viene lasciato cadere nello stesso punto del ruscello: variazioni casuali lungo il suo percorso, causate da turbolenze nell'acqua, vento e altri capricci della natura danno calci ai vicini linee di flusso.

Pooh stick 2

Qui, il cono di abete è stato lasciato cadere vicino all'angolo in alto a destra. Seguiva più o meno le linee del torrente - che convergono e scorrono verso il basso e verso sinistra - ma ci sono volute piccole deviazioni lungo il percorso.


Un "processo autoregressivo" (processo AR) è una sequenza di numeri che si ritiene comportino come determinati flussi. L'illustrazione bidimensionale corrisponde a un processo in cui ogni numero è determinato dai suoi due valori precedenti, più una "deviazione" casuale. L'analogia viene fatta interpretando ogni coppia successiva nella sequenza come coordinate di un punto nel flusso. Istante per istante, il flusso del flusso cambia le coordinate del cono di abete nello stesso modo matematico dato dal processo AR.

Possiamo recuperare il processo originale dall'immagine basata sul flusso scrivendo le coordinate di ciascun punto occupato dal cono di abete e quindi cancellando tutto tranne l'ultimo numero in ogni serie di coordinate.

La natura, e in particolare i flussi, è più ricca e varia rispetto ai flussi corrispondenti ai processi di AR. Poiché si presume che ogni numero nella sequenza dipenda nello stesso modo fisso dai suoi predecessori - a parte la parte di deviazione casuale - i flussi che illustrano i processi AR presentano modelli limitati. Sembrano davvero fluire come un ruscello, come visto qui. Possono anche apparire come i vortici attorno a uno scarico. I flussi possono avvenire al contrario, sembrando sgorgare verso l'esterno da uno scarico. E possono apparire come bocche di due corsi d'acqua che si infrangono insieme: due fonti d'acqua scorrono direttamente l'una verso l'altra e poi si dividono ai lati. Ma questo è tutto. Ad esempio, non puoi avere un flusso che scorre con vortici ai lati. I processi di AR sono troppo semplici per questo.

Bastoncini di Pooh 3

In questo flusso, il cono di abete fu lasciato cadere nell'angolo in basso a destra e rapidamente portato nel vortice in alto a destra, nonostante i lievi cambiamenti casuali nella posizione che subì. Ma non smetterà mai del tutto di muoversi, a causa di quegli stessi movimenti casuali che lo salvano dall'oblio. Le coordinate del cono di abete si muovono un po ', anzi, si vedono oscillare, nel complesso, attorno alle coordinate del centro del vortice. Nel primo flusso del flusso, le coordinate procedevano inevitabilmente lungo il centro del flusso, che catturò rapidamente il cono e lo portò via più velocemente di quanto le sue deviazioni casuali potessero rallentarlo: si inclinano nel tempo. Al contrario, girando intorno a un vortice esemplifica un fermoprocesso in cui viene catturato il cono di abete; che scorre via lungo il torrente, in cui il cono fuoriesce dalla vista - di tendenza - non è stazionario.

Per inciso, quando il flusso per un processo AR si allontana a valle, accelera anche . Diventa sempre più veloce mentre il cono si muove lungo di esso.

La natura di un flusso AR è determinata da alcune direzioni speciali, "caratteristiche", che di solito sono evidenti nel diagramma del flusso: le linee di flusso sembrano convergere verso o provengono da queste direzioni. Si possono sempre trovare tutte le direzioni caratteristiche quanti sono i coefficienti nel processo AR: due in queste illustrazioni. Associato a ciascuna direzione caratteristica è un numero, la sua "radice" o "autovalore". Quando la dimensione del numero è inferiore all'unità, il flusso in quella direzione caratteristica è verso una posizione centrale. Quando la dimensione della radice è maggiore dell'unità, il flusso accelera lontano da una posizione centrale.1--è dominato dalle forze casuali che colpiscono il cono. È una "passeggiata casuale". Il cono può allontanarsi lentamente ma senza accelerare.

(Alcune figure mostrano i valori di entrambe le radici nei loro titoli.)

Perfino Pooh - un orso con pochissimo cervello - riconoscerebbe che il flusso catturerà il suo cono di abete solo quando tutto il flusso è diretto verso un vortice o un vortice; altrimenti, su una di quelle deviazioni casuali il cono alla fine si troverà sotto l'influenza di quella parte del flusso con una radice maggiore di in grandezza, da cui vagherà a valle e andrà perduto per sempre. Di conseguenza, un processo AR può essere stazionario se e solo se tutti i valori caratteristici hanno dimensioni inferiori all'unità .1

Gli economisti sono forse i più grandi analisti delle serie storiche e i datori di lavoro della tecnologia dei processi di AR. Le loro serie di dati in genere non accelerano alla vista. Si preoccupano quindi solo se esiste una direzione caratteristica il cui valore può avere dimensioni pari a : una "radice unitaria". Sapere se i dati sono coerenti con un tale flusso può dire all'economista molto sul potenziale destino del suo bastoncino di cacca: cioè su ciò che accadrà in futuro. Ecco perché può essere importante testare una radice unitaria. Un bell'articolo di Wikipedia spiega alcune delle implicazioni.1

Pooh e i suoi amici hanno trovato un test empirico di stazionarietà:

Ora un giorno Pooh, Maialino, Coniglio e Roo suonavano tutti insieme. Avevano lasciato cadere i bastoncini quando Rabbit ha detto "Vai!" e poi si erano affrettati dall'altra parte del ponte, e ora erano tutti sporgenti oltre il bordo, in attesa di vedere quale bastone sarebbe uscito per primo. Ma è passato molto tempo, perché quel fiume era molto pigro quel giorno, e sembrava non importare se non ci fosse mai arrivato.

"Riesco a vedere il mio!" gridò Roo. "No, non posso, è qualcos'altro. Riesci a vedere il tuo, Maialino? Pensavo di poter vedere il mio, ma non potevo. Eccolo! No, non lo è. Riesci a vedere il tuo, Pooh? "

"No" disse Pooh.

"Mi aspetto che il mio bastone sia bloccato", ha detto Roo. "Coniglio, il mio bastone è bloccato. Il tuo bastone è bloccato, Maialino?"

"Prendono sempre più tempo di quanto pensi", ha detto Rabbit.

Questo passaggio, del 1928, potrebbe essere interpretato come il primo "test di Unit Roo".


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Mi scuso per l'ultima riga.
whuber

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+1 @whuber: penso che tu abbia fissato un nuovo standard per questo sito. Sarò profondamente deluso da eventuali future spiegazioni intuitive che non coinvolgono diagrammi e Winnie the Pooh.
Wayne,

6
@whuber Una spiegazione molto divertente dell'unità radice che evita la matematica. +1 per quello. Ma sembra che ci sia voluto un capitolo del libro per fare la spiegazione. Anche il lettore deve credere che una radice di 1 segna il limite della statisonaità. Per dimostrare che penso che implicherebbe necessariamente un po 'di matematica con l'equazione polinomiale. Il gioco di parole alla fine "Unit Roo" al posto di "Unit Root" non ha prezzo.
Michael Chernick,

4
La connessione tra la dimensione di una radice e il comportamento del processo è facilmente stabilita con un argomento separato che mostra perché i polinomi sono aringhe rosse qui: la radice è un tasso di crescita . Ciò dipende dal fatto che moltiplicare numeri di grandezza maggiori di aumenterà le magnitudini, ecc. Il punto sulla lunghezza della spiegazione è sul segno. Immagina però il contesto: un amico o un familiare ti pone questa domanda durante una piacevole conversazione. Limiteresti la tua risposta ad alcune equazioni o saresti delicatamente espansivo nel tentativo di aiutarli a capire davvero? 1
whuber

4
Un'altra grande risposta. Spesso imparo cose, anche quando ho già avuto una buona conoscenza dell'argomento, leggendo i tuoi post.
Macro,

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Immagina due processi :AR(1)

  • Processo 1:vk=0.5vk1+ϵk1
  • Processo 2:vk=vk1+ϵk1
  • ϵi è tratto daN(0,1)

Il processo 1 non ha radice unità. Il processo 2 ha una radice unitaria. Puoi confermarlo calcolando i polinomi caratteristici secondo la risposta di Michael.

Immagina di iniziare entrambi i processi a zero, ovvero . Ora immagina cosa succede quando abbiamo una "buona corsa" di epsilon positivi e immagina che entrambi i processi arrivino a .v1=0v10=5

Cosa succede dopo? Dove ci aspettiamo che la sequenza vada?

Ci aspettiamo che . Quindi ci aspettiamo che il caso del Processo 1 abbia , , ecc.ϵi=0v11=2.5v12=1.25v13=0.625

Ma ci aspettiamo per il Processo 2 che , , ecc.v11=5v12=5v13=5

Quindi un'intuizione è, quando una "corsa di buona / sfortuna" spinge un processo con una radice di unità intorno, la sequenza "rimane bloccata in posizione" dallo storico buono o sfortunato. Si sposterà comunque in modo casuale, ma non c'è nulla di "costringerlo indietro". D'altra parte, quando non c'è unità radice e il processo non esplode, c'è una "forza" sul processo che farà tornare il processo nella vecchia posizione, anche se il rumore casuale lo farà ancora girare un po ' .

Il "rimanere bloccati" può includere oscillazioni non attenuate, un semplice esempio è: . Questo rimbalzerà avanti e indietro da positivo a negativo, ma l'oscillazione non è predestinata a esplodere all'infinito o a smorzarsi fino a zero. Puoi ottenere più forme di "rimanere bloccati" che includono tipi più complessi di oscillazioni.vk=vk1+ϵk1


buona risposta Patrick. Cupola simpatici argomenti intuitivi ma non vuoti di matematica.
Michael Chernick,

@Patrick Caldon: ottima risposta anche, e complimenti molto bene di Michael Chernick. Come ho detto nella sua risposta, mi piace anche questo modo "intuitivo matematico" di spiegare!
Lucas Reis,

11
+1: Non menziona Winnie the Pooh, ma è comunque abbastanza illustrativo.
Wayne,

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Considera il processo autoregressivo del primo ordine dove è rumore bianco. Il modello può anche essere espresso con tutte le su un lato come

Xt=aXt1+et
etX
XtaXt1=et.

Utilizzando l'operatore possiamo il modello in modo compatto come o, equivalentemente, Il polinomio caratteristico è . Questo ha una radice (unica) in . Quindi per abbiamo un processo stazionario e per abbiamo un processo esplosivo non stazionario . Per abbiamo una camminata casuale che non è stazionaria e una radice unitaria . Quindi le radici dell'unità formano il confine tra stazionarietà e non stazionarietà. TheBXt=Xt1XtaBXt=et

(1aB)Xt=et.
1axx=1/a|a|<1AR(1)|a|>1AR(1)a=1x=1/1=1AR(1) il modello (in virtù del suo polinomio caratteristico lineare) è il più semplice per illustrarlo.

4
Sto ancora cercando di capire perché tutto ciò che leggo su questo argomento ignora la possibilità che o, più in generale, appaia insensibile alla possibilità che una radice del polinomio caratteristico possa avere una lunghezza unitaria senza essere identicamente . Potresti forse far luce su questo? a11
whuber

1
Forse questo avrebbe potuto concentrarsi maggiormente sull'intuizione, ma non credo che abbia meritato un downvote. Dal mio punto di vista, in realtà è un'affermazione abbastanza chiara e succinta della radice dell'unità.
gung - Ripristina Monica

1
Non penso che faccia Bill. Se un valore> 1 in valore assoluto, la radice si trova al di fuori del cerchio unitario. Quindi un <-1 è non stazionario come un> 1. All'interno del cerchio dell'unità il modello è fermo. Fuori è non stazionario. Il cerchio unitario è il confine. Nella mia risposta avrei dovuto mettere un segno di valore assoluto attorno a a. La mia spiegazione non è così semplice come puoi trovare? Qualcuno l'ha effettivamente votato!
Michael Chernick,

2
@MichaelChernick: Non so davvero se in tutti i casi sono possibili risposte intuitive prive di matematica e anche risposte "matematiche intuitive come la tua" sono fantastiche! Cercare di evitare argomenti matematici, secondo me, è uno strumento potente non solo per avere una migliore comprensione del concetto statistico, ma anche per capire meglio gli argomenti matematici! ;)
Lucas Reis,

6
Michael, nota che @Lucas è l'OP. :-)
cardinale
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