Creazione di valori casuali auto-correlati in R

Stiamo provando a creare valori casuali auto-correlati che verranno utilizzati come timeseries. Non abbiamo dati a cui ci riferiamo e vogliamo solo creare il vettore da zero.

Da un lato abbiamo ovviamente bisogno di un processo casuale con distribuzione e sua SD.

D'altra parte deve essere descritta l'autocorrelazione che influenza il processo casuale. I valori del vettore sono autocorrelati con intensità decrescente su più timelag. ad es. lag1 ha 0,5, lag2 0,3, lag1 0,1 ecc.

Quindi alla fine il vettore dovrebbe apparire qualcosa che: 2, 4, 7, 11, 10, 8, 5, 4, 2, -1, 2, 5, 9, 12, 13, 10, 8, 4, 3, 1, -2, -5

e così via.

In realtà spesso mi imbatto in quel problema. I miei due modi preferiti per generare una serie temporale con l'auto-correlazione in R dipendono dal fatto che io voglia un processo stazionario o meno.

Per una serie storica non stazionaria uso un movimento browniano. Ad esempio, per una lunghezza di 1000 faccio:

x <- diffinv(rnorm(999))

Per una serie storica fissa filmo un rumore gaussiano. Ad esempio questo sembra:

x <- filter(rnorm(1000), filter=rep(1,3), circular=TRUE)

In tal caso, l'auto-correlazione in ritardo è 0 se . In altri casi, dobbiamo calcolare la correlazione tra somme di variabili. Ad esempio per la covarianza è$\tau$$\tau > 2$$\tau = 1$

$$Cov(X_1;X_2) = Cov(Y_1+Y_2+Y_3; Y_2+Y_3+Y_4) = Var(Y_2) + Var(Y_3) = 2.$$

Quindi vedi che l'auto-covarianza scende linearmente verso l'alto fino a dove è la lunghezza del filtro.$n$$n$

Puoi anche voler fare lunghe serie temporali di memoria (come il movimento frazionario di Brownian), ma questo è più coinvolto. Ho un'implementazione R del metodo Davies-Harte che posso inviarti se lo desideri.

$R(\tau)$$\tau$

$$\Sigma=\left[ \begin{array}{cccc} R(0) & R(1) & ... & R(N) \\ R(1) & R(0) & ... & R(N-1) \\ \vdots & \ddots & ... & \vdots \\ R(N) & R(N-1) & ... & R(0) \end{array} \right]$$

Data questa matrice di covarianza, campionate i dati da un gaussiano multivariato con la matrice di covarianza data $\Sigma$

$$f(\vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}|\Sigma|^{1/2}}\text{exp}\left(-\frac{1}{2}(\vec{x}-\vec{\mu})^T\Sigma^{-1}(\vec{x}-\vec{\mu})\right)\text{,}$$ $\vec{\mu}$

$X(t)=a X(t-1) + e(t)$$e(0)$$X(0) = e(0)$$X(1)=a X(0) + e(1)$$e(i)$$X(i)$$e(i)$$e(i)$