Correlazione tra X e XY

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Se ho due variabili casuali indipendenti X e Y, qual è la correlazione tra X e il prodotto XY? Se questo è sconosciuto, sarei interessato a sapere almeno cosa succede nel caso specifico di X e Y normali con zero media, se è più facile da risolvere.

correlation

— Roberto
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Cosa motiva questa domanda? Mi chiedo se sarebbe meglio se ci rivolgessimo anche a qualcos'altro qui. Stai conducendo uno studio in cui hai creato una variabile XY per qualche motivo?

— gung - Ripristina Monica

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Soluzione

Ritengo che una valida soluzione sarà quella che esprime - se possibile - la correlazione in termini di proprietà separati delle variabili e . Calcolare la correlazione coinvolgerà calcolare le covarianze di monomi in e . È economico farlo tutto in una volta. Osservalo semplicemente $X$ $Y$ $X$ $Y$

Quando e sono indipendenti e e sono poteri, allora e sono indipendenti; $X$ $Y$ $i$ $j$ $X^i$ $Y^j$
L'aspettativa di un prodotto di variabili indipendenti è il prodotto delle loro aspettative.

Questo darà le formule in termini di momenti di e . $X$ $Y$

Questo è tutto quello che c'è da fare.

Dettagli

Scrivi , ecc. Per i momenti. Pertanto, per tutti numeri per i quali i calcoli hanno senso e producono numeri finiti, $\mu_i(X) = E(X^i)$ $i,j,k,l$

\begin{aligned} Cov (X^{io} Y^{j}, X^{K} Y^{l}) & = E (X^{io} Y^{j} X^{K} Y^{l}) - E (X^{io} Y^{j}) E (X^{K} Y^{l}) \\ = μ_{io + K} (X) μ_{j + l} (Y) - μ_{io} (X) μ_{K} (X) μ_{j} (Y) μ_{l} (Y) . \end{aligned}

$\eqalign{ \operatorname{Cov}\left(X^iY^j, X^kY^l\right) &= E\left(X^iY^j X^kY^l\right) - E\left(X^iY^j\right) E\left(X^kY^l\right) \\&= \mu_{i+k}(X)\mu_{j+l}(Y) - \mu_i(X)\mu_k(X)\mu_j(Y)\mu_l(Y).}$

Nota che la varianza di qualsiasi variabile casuale è la sua covarianza con se stessa, quindi non dobbiamo fare alcun calcolo speciale per le varianze.

Ora dovrebbe essere ovvio come calcolare i momenti che coinvolgono monomi, di qualsiasi potere, di qualsiasi numero finito di variabili casuali indipendenti. Come applicazione, applica questo risultato alla definizione di correlazione, che è la covarianza divisa per le radici quadrate delle varianze:

\begin{aligned} Cor (X, X Y) & = \frac{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{1})}{\sqrt{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{0}) Cov (X^{1} Y^{1}, X^{1} Y^{1})}} \\ = \frac{μ_{2} (X) μ_{1} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{1} (Y)}{\sqrt{(μ_{2} (X) - μ_{1} (X)^{2}) (μ_{2} (X) μ_{2} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{2} (Y)^{2})}} . \end{aligned}

$\eqalign{\operatorname{Cor}(X,XY) &= \frac{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^1)}{\sqrt{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^0)\ \operatorname{Cov}(X^1Y^1, X^1Y^1)}} \\ &=\frac{\mu_2(X)\mu_1(Y) - \mu_1(X)^2\mu_1(Y)}{\sqrt{\left(\mu_2(X)-\mu_1(X)^2\right)\left(\mu_2(X)\mu_2(Y)-\mu_1(X)^2\mu_2(Y)^2\right)}} . }$

Esistono varie semplificazioni algebriche che potresti scegliere se desideri metterle in relazione con aspettative, varianze e covarianze delle variabili originali, ma realizzarle qui non fornirebbe ulteriori informazioni.

— whuber
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Utilizzando la legge della covarianza totale e dell'indipendenza di e , $X$ $Y$ Usando la legge della varianza totale e, di nuovo, l'indipendenza,

\begin{aligned} Cov (X, X Y) & = E Cov (X, X Y | Y) + Cov (E X | Y, E X Y | Y) \\ = E (Y Cov (X, X)) + Cov (E X, Y E X) \\ = E (Y Var X) + Cov (E X, Y E X) \\ = E Y Var X . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Cov}(X,XY) &=E\mbox{Cov}(X,XY|Y)+\mbox{Cov}(EX|Y,EXY|Y) \\&=E(Y\mbox{Cov}(X,X)) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=E(Y\mbox{Var}X) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=EY\mbox{Var}X. \end{align}$

Nota come

può essere trattato come una costante in una qualsiasi delle suddette aspettative, varianze o covarianze interne.

\begin{aligned} Var (X Y) & = E Var (X Y | Y) + Var E (X Y | Y) \\ = E (Y^{2} (Var X | Y)) + Var (Y (E X | Y)) \\ = E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X) \\ = E (Y^{2}) Var X + (E X)^{2} Var Y \\ = Var X Var Y + (E Y)^{2} Var X + (E X)^{2} Var Y . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Var}(XY) &= E\mbox{Var}(XY|Y) + \mbox{Var} E(XY|Y) \\&= E(Y^2 (\mbox{Var}X|Y)) + \mbox{Var} (Y (EX|Y)) \\&= E(Y^2 \mbox{Var}X) + \mbox{Var} (Y EX) \\&= E(Y^2) \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y \\&= \mbox{Var}X\mbox{Var}Y+(EY)^2 \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y . \end{align}$

Y

$Y$

\begin{aligned} corr (X, X Y) & = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{Var Y}{(E Y)^{2}} (1 + \frac{(E X)^{2}}{Var X})}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{corr}(X,XY) &=\frac1{\sqrt{ 1 + \frac{\text{Var}Y}{(EY)^2}\left(1 + \frac{(EX)^2}{\text{Var}X}\right) }}. \end{align}$

Un controllo di questo risultato mediante simulazione:

> n <- 1e+6
> x <- rexp(n,2)-2
> y <- rnorm(n,mean=5)
> cv2 <- function(x) var(x)/mean(x)^2
> 1/sqrt(1+cv2(y)*(1+1/cv2(x)))
[1] 0.844882
> cor(x,x*y)
[1] 0.8445373

— Jarle Tufto
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E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X)

$E(Y^2\text{Var}X)+\text{Var}(YEX)$

E Cov (X, X Y | Y) = E Y Cov (X, X)

$E\text{Cov}(X, XY|Y)=EY\text{Cov}(X,X)$

Y

$Y$ è un dato di fatto. Vorrei suggerire una spiegazione minima per alcuni dei passaggi.

— Antoni Parellada,

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Sì, ho aggiunto alcune parentesi mancanti e alcune spiegazioni. Devo ammettere che preferisco la risposta di @whuber.

— Jarle Tufto,

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Nel caso specifico di X e Y che sono variabili casuali con zero significa, allora perché $\rho(XY,X) = 0$ $\mathbb{E}(X^2Y) = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ X^2Y | X]] = \mathbb{E}[X^2\mathbb{E}[Y|X]] = 0$ $cov(XY,X) = \mathbb{E}(X^2Y) - \mathbb{E}(XY).\mathbb{E}(X) = 0$

— Kledou
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La correlazione lineare tra X e XY sarà,

Corr (X, XY) = Cov (X, XY) / sqrt (var (X) * var (XY))

Cov (X, XY) = Somma ((media X (X)) (media XY (XY)) / n

n - dimensione del campione; var (X) = varianza di X; var (XY) = varianza di XY

— Sam Gladio
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La domanda riguarda le variabili casuali , non i dati.

— whuber

come possiamo sapere se 2 variabili casuali sono correlate o no? Solo attraverso i dati giusti. Correggimi se sbaglio. Scuse.

— Sam Gladio,

Si calcola teoricamente la correlazione, usando le proprietà matematiche di variabili casuali. È praticamente la stessa cosa, diciamo, calcolare la forza di un progetto di ponte usando i principi della meccanica newtoniana, rispetto alla costruzione di ponti e alla loro verifica: ci sono ruoli distinti per teoria e dati e non dovrebbero essere confusi tra loro .

— whuber