Errore standard per la media di un campione di variabili casuali binomiali

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Supponiamo che stia eseguendo un esperimento che può avere 2 risultati e suppongo che la distribuzione "vera" sottostante dei 2 risultati sia una distribuzione binomiale con parametri $n$ e $p$ : ${\rm Binomial}(n, p)$ .

Posso calcolare l'errore standard, $SE_X = \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$ , dalla forma della varianza di ${\rm Binomial}(n, p)$ :

σ_{X}^{2} = n p q

$\sigma^{2}_{X} = npq$ dove

q = 1 - p

$q = 1-p$ . Quindi,

σ_{X} = \sqrt{n p q}

$\sigma_X=\sqrt{npq}$ . Per l'errore standard ottengo:

S E_{X} = \sqrt{p q}

$SE_X=\sqrt{pq}$ , ma ho visto da qualche parte che

S E_{X} = \sqrt{\frac{p q}{n}}

$SE_X = \sqrt{\frac{pq}{n}}$ . Cosa ho fatto di sbagliato?

binomial standard-error

— Franco
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Questo articolo è molto utile per comprendere l'errore standard della media influentialpoints.com/Training/…

— Sanghyun Lee

Dal mio google, sembra che l'argomento strettamente correlato di ottenere intervalli di confidenza per una distribuzione binomiale sia piuttosto sfumato e complicato. In particolare, sembra che gli intervalli di confidenza ottenuti da questa formula, che sarebbe "Wald Intervals" (vedi en.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval ), è piuttosto scarsamente comportato e dovrebbe essere evitato. Vedi jstor.org/stable/2676784?seq=1#metadata_info_tab_contents per maggiori informazioni.

— aquirdturtle,

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Sembra che tu stia usando due volte in due modi diversi - sia come dimensione del campione che come numero di prove di bernoulli che comprendono la variabile casuale binomiale; per eliminare ogni ambiguità, userò per fare riferimento a quest'ultimo. $n$ $k$

Se si dispone di campioni indipendenti da un la distribuzione, la varianza della media campionaria è $n$ ${\rm Binomial}(k,p)$

v un' r (\frac{1}{n} Σ_{io = 1}^{n} X_{io}) = \frac{1}{n^{2}} Σ_{io = 1}^{n} v un' r (X_{io}) = \frac{n v un' r (X_{io})}{n^{2}} = \frac{v un' r (X_{io})}{n} = \frac{K p q}{n}

${\rm var} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} {\rm var}( X_{i} ) = \frac{ n {\rm var}(X_{i}) }{ n^2 } = \frac{ {\rm var}(X_{i})}{n} = \frac{ k pq }{n}$

dove e è la stessa media. Questo segue da allora $q=1-p$ $\overline{X}$

(1) , ${\rm var}(cX) = c^2 {\rm var}(X)$ per qualsiasi variabile casuale, e qualsiasi costante . $X$ $c$

(2) la varianza di una somma di variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze .

L'errore standard di è la radice quadrata della varianza: $\overline{X}$ . Perciò, $\sqrt{\frac{ k pq }{n}}$

Quando , ottieni la formula che hai indicato: $k = n$ $\sqrt{pq}$
Quando e le variabili binomiali sono solo prove di bernoulli , ottieni la formula che hai visto altrove: $k = 1$ $\sqrt{\frac{pq }{n}}$

— macro
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Quando

è una variabile casuale bernoulli , allora

. Quando

ha una variabile casuale binomiale basata su

prove con probabilità di successo

, allora

X

$X$

v a r (X) = p q

${\rm var}(X) = pq$

X

$X$

n

$n$

p

$p$

v a r (X) = n p q

${\rm var}(X) = npq$

— Macro

2

Grazie! Hai sollevato la mia confusione. Mi dispiace che sia stato così elementare, sto ancora imparando :-)

— Frank

6

Quindi è chiaro a Frank che stiamo usando il fatto che per ogni costante c Var (cX) = c

Var (x)? Poiché la stima del campione della proporzione è X / n, abbiamo Var (X / n) = Var (X) / n

= npq / n

= pq / n e SEx è la radice quadrata di quello. Penso che sia più chiaro per tutti se compitiamo tutti i passaggi.

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

— Michael Chernick,

1

@MichaelChernick, ho chiarito i dettagli che hai citato. Sulla base della descrizione del problema, ho pensato che Frank conoscesse questi fatti, ma hai ragione nel dire che sarebbe più educativo per i futuri lettori includere i dettagli.

— Macro

2

Sol Lago - In questo caso k = 1. Se hai lanciato una moneta 50 volte e calcolato il numero di successi e poi ripetuto l'esperimento 50 volte, allora k = n = 50. Un lancio di una moneta risulta in 1 o 0. È un Bernoulli rv

— B_Miner

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È facile confondere due distribuzioni binomiali:

distribuzione del numero di successi
distribuzione della percentuale di successi

npq è il numero di successi, mentre npq / n = pq è il rapporto tra successi. Ciò si traduce in diverse formule di errore standard.

— Vlad
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6

Possiamo osservarlo nel modo seguente:

Supponiamo di fare un esperimento in cui dobbiamo lanciare una moneta imparziale volte. Il risultato complessivo dell'esperimento è che è la somma dei singoli lanci (diciamo, testa come 1 e coda come 0). Quindi, per questo esperimento, , dove sono risultati di lanci individuali. $n$ $Y$ $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X_i$

Qui, il risultato di ogni lancio, , segue una distribuzione di Bernoulli e il risultato complessivo segue una distribuzione binomiale. $X_i$ $Y$

L'esperimento completo può essere pensato come un singolo campione. Pertanto, se ripetiamo l'esperimento, possiamo ottenere un altro valore di , che formerà un altro campione. Tutti i possibili valori di costituiranno la popolazione completa. $Y$ $Y$

Tornando al lancio della moneta singola, che segue una distribuzione di Bernoulli, la varianza è data da , dove è la probabilità di testa (successo) e . $pq$ $p$ $q = 1 – p$

Ora, se osserviamo la varianza di , . Ma, per tutti i singoli esperimenti di Bernoulli, . Poiché nell'esperimento ci sono lanci o prove di Bernoulli, . Questo implica che $Y$ $V(Y) = V(\sum X_i) = \sum V(X_i)$ $V(X_i) = pq$ $n$ $V(Y) = \sum V(X_i) = npq$ ha varianza . $Y$ $npq$

Ora, la proporzione del campione è dato da , che fornisce la "proporzione di successo o di teste". Qui,è una costante in quanto prevediamo di fare lo stesso numero di lanci di monete per tutti gli esperimenti nella popolazione. $\hat p = \frac Y n$ $n$

Quindi, . $V(\frac Y n) = (\frac {1}{n^2})V(Y) = (\frac {1}{n^2})(npq) = pq/n$

Così, errore standard per (una statistica del campione) è $\hat p$ $\sqrt{pq/n}$

— Tarashankar
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Puoi usare la composizione in lattice mettendo dollari intorno alla tua matematica, ad es. $x$ Dà

.

x

$x$

— Silverfish,

V (\sum X_{i}) = \sum V (X_{i})

$V(\sum X_i)=\sum V(X_i)$

C'è un errore di battitura nell'ultima detrazione, V (Y / n) = (1 / n ^ 2) * V (Y) = (1 / n ^ 2) * npq = pq / n dovrebbe essere la detrazione corretta.

— Tarashankar,

Mi scuso, ho introdotto questo quando si fa la composizione. Spero che ora sia ordinato.

— Silverfish,

1

X_{i}

$X_i$

2

Penso che ci sia anche un po 'di confusione nel post iniziale tra errore standard e deviazione standard. La deviazione standard è il sqrt della varianza di una distribuzione; l'errore standard è la deviazione standard della media stimata di un campione da quella distribuzione, vale a dire la diffusione dei mezzi che osserveresti se lo facessi all'infinito molte volte. Il primo è una proprietà intrinseca della distribuzione; quest'ultimo è una misura della qualità della stima di una proprietà (la media) della distribuzione. Quando fai un esperimento di prove di N Bernouilli per stimare la probabilità sconosciuta di successo, l'incertezza della tua p = k / N stimata dopo aver visto k successi è un errore standard della proporzione stimata, sqrt (pq / N) dove q = 1 -p. La vera distribuzione è caratterizzata da un parametro P, la vera probabilità di successo.

— Stan
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