Se X e Y non sono correlati, anche X ^ 2 e Y non sono correlati?

Se due variabili casuali e non sono correlate, possiamo anche sapere che e non sono correlate? La mia ipotesi è si. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ non correlato significa , oppure $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

Significa anche quanto segue?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence

— Vegard Stikbakke
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Sì. Questa domanda è stata posta e risposta prima ma non riesco a trovare un riferimento specifico dal mio dispositivo mobile.

— Dilip Sarwate,

@DilipSarwate sembra che la risposta accettata fornisca già un contro esempio.

— Vim,

@DilipSarwate Nel tuo commento devi aver significato "No" anziché "Sì"!

— ameba dice Reinstate Monica il

@amoeba La versione originale della domanda sull'indipendenza per la quale la risposta è davvero Sì. Da allora è stato modificato per chiedere informazioni su variabili casuali non correlate. Non posso cambiare il mio commento ora.

— Dilip Sarwate,

La domanda originale era piuttosto confusa, poiché utilizzava una definizione errata di indipendenza. La domanda attuale è ancora confusa, in quanto afferma una deduzione inappropriata dall'essere non correlata (presuppone ). Spero che @vegardstikbakke legga le definizioni appropriate di indipendente e non correlato, con alcuni esempi.

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

— Meni Rosenfeld,

Risposte:

No. Un controesempio:

Sia distribuito uniformemente su , . $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

Quindi e anche ( è funzione dispari), quindi non sono correlati. $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

Ma $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

L'ultima disuguaglianza segue dalla disuguaglianza di Jensen. Ne consegue anche che poiché non è costante. $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

Il problema con il tuo ragionamento è che potrebbe dipendere da viceversa, quindi la tua penultima uguaglianza non è valida. $f_X$ $y$

— Jakub Bartczuk
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Non c'è bisogno di renderlo più complicato con la disuguaglianza di Jensen; è una variabile casuale non negativa e non è wp 1, quindi (oppure puoi semplicemente fare e vedere facilmente il suo positivo ).

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

— Batman,

Dovresti anche aggiungere una trama. Avevo preso in considerazione un esempio simile (Y = | X | su -1: +1) ma l'avrei presentato visivamente.

— Anony-Mousse,

@Batman Non vedo davvero come ti dia qualcosa dal momento che siamo interessati se

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

— Jakub Bartczuk,

@ Anony-Mousse Non è necessario limitare Y. Y = | X | soddisfa il requisito.

— Loren Pechtel,

LorenPechtel per la visualizzazione. Perché IMHO è meglio vedere perché questo può accadere e non solo il risultato matematico è come desiderato.

— Anony-Mousse,

Anche se , non solo è possibile che e siano correlati, ma potrebbero anche essere perfettamente correlati, con : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

O : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

Nel caso in cui non sia possibile leggere il codice R , il primo esempio equivale a considerare due variabili casuali e con una distribuzione congiunta tale che è altrettanto probabile che sia , o . Nell'esempio perfettamente negativamente correlato, è ugualmente probabile che sia , o . $X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

Tuttavia, possiamo anche costruire e tale che , quindi tutti gli estremi sono possibili: $X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

— pesciolino d'argento
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L'errore nel tuo ragionamento è che scrivi quanto segue su : while in generale I due coincidono se , cioè se e sono indipendenti. Essere non correlati è una condizione necessaria ma non sufficiente per essere indipendenti. Quindi se due variabili e non sono correlate ma dipendenti, allora e possono essere correlati. $E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

— Luca Citi
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