Perché l'aspettativa è uguale alla media aritmetica?

Oggi mi sono imbattuto in un nuovo argomento chiamato Aspettativa matematica. Il libro che sto seguendo dice che l'aspettativa è la media aritmetica della variabile casuale proveniente da qualsiasi distribuzione di probabilità. Ma definisce l'aspettativa come la somma del prodotto di alcuni dati e la probabilità di esso. Come possono essere questi due (media e aspettativa) uguali? In che modo la somma delle probabilità per i dati può essere la media dell'intera distribuzione?

Informalmente, una distribuzione di probabilità definisce la frequenza relativa degli esiti di una variabile casuale - il valore atteso può essere considerato come una media ponderata di tali esiti (ponderata dalla frequenza relativa). Allo stesso modo, il valore atteso può essere considerato come la media aritmetica di un insieme di numeri generati in proporzione esatta alla loro probabilità di verificarsi (nel caso di una variabile casuale continua ciò non è esattamente vero poiché valori specifici hanno probabilità ).$0$

La connessione tra il valore atteso e la media aritmetica è più chiara con una variabile casuale discreta, dove si trova il valore atteso

$$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$$

dove è lo spazio del campione. Ad esempio, supponiamo di avere una variabile casuale discreta tale che:$S$$X$

$$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$$

Cioè, la funzione di massa di probabilità è , e . Utilizzando la formula sopra, il valore atteso èP ( X = 2 ) = 3 / 8 P ( X = 3 ) = 1 /$P(X=1)=1/8$$P(X=2)=3/8$$P(X=3)=1/2$

$$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$$

Consideriamo ora i numeri generati con frequenze esattamente proporzionali alla funzione della massa di probabilità - ad esempio, l'insieme di numeri - due s, sei s e otto s. Ora prendi la media aritmetica di questi numeri:$\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$$1$$2$$3$

$$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$$

e puoi vedere che è esattamente uguale al valore atteso.

L'aspettativa è il valore medio o la media di una variabile casuale e non una distribuzione di probabilità. Pertanto, per le variabili casuali discrete si intende la media ponderata dei valori che la variabile casuale assume in corrispondenza della ponderazione in base alla frequenza relativa di occorrenza di tali singoli valori. Per una variabile casuale assolutamente continua è l'integrale dei valori x moltiplicato per la densità di probabilità. I dati osservati possono essere visualizzati come i valori di una raccolta di variabili casuali indipendenti identicamente distribuite. La media del campione (o aspettativa del campione) è definita come l'attesa dei dati rispetto alla distribuzione empirica per i dati osservati. Questo lo rende semplicemente la media aritmetica dei dati.

Prestiamo molta attenzione alle definizioni:

La media è definita come la somma di una raccolta di numeri divisa per il numero di numeri nella raccolta. Il calcolo sarebbe "per i in 1 a n, (somma di x sub i) diviso per n."

Il valore atteso (EV) è il valore medio a lungo termine delle ripetizioni dell'esperimento che rappresenta. Il calcolo sarebbe "per i in 1 a n, somma dell'evento x sub i volte la sua probabilità (e la somma di tutti i p sub i deve = 1)".

Nel caso di un dado giusto, è facile vedere che la media e l'EV sono gli stessi. Media - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 - 3.5 ed EV sarebbero:

prob xp * x

0,167 1 0,17

0,167 2 0,33

0,167 3 0,50

0,167 4 0,67

0,167 5 0,83

0,167 6 1,00

EV = somma (p * x) = 3.50

E se il dado non fosse "giusto". Un modo semplice per realizzare un dado ingiusto sarebbe quello di praticare un buco nell'angolo all'intersezione delle 4, 5 e 6 facce. Inoltre ora diciamo che la probabilità di tirare un 4, 5 o 6 sul nostro dado storto nuovo e migliorato è ora .2 e la probabilità di tirare un 1, 2 o 3 è ora .133. È lo stesso dado con 6 facce, un numero su ogni faccia e la media per questo dado è ancora 3,5. Tuttavia, dopo aver lanciato questo dado molte volte, il nostro EV è ora 3,8 perché le probabilità per gli eventi non sono più le stesse per tutti gli eventi.

prob xp * x

0,133 1 0,13

0,133 2 0,27

0,133 3 0,40

0,200 4 0,80

0,200 5 1,00

0,200 6 1,20

EV = somma (p * x) = 3.80

Ancora una volta, stiamo attenti e torniamo alla definizione prima di concludere che una cosa sarà sempre "la stessa" di un'altra. Dai un'occhiata a come viene installato un normale dado e fai un buco negli altri 7 angoli e guarda come cambiano i veicoli elettrici: divertiti.

Bob_T

L'unica differenza tra "media" e "valore atteso" è che la media viene utilizzata principalmente per la distribuzione di frequenza e l'aspettativa viene utilizzata per la distribuzione di probabilità. Nella distribuzione delle frequenze, lo spazio di campionamento è costituito da variabili e dalle loro frequenze di occorrenza. Nella distribuzione di probabilità, lo spazio del campione è costituito da variabili casuali e loro probabilità. Ora sappiamo che la probabilità totale di tutte le variabili nello spazio campione deve essere = 1. Qui sta la differenza di base. Il termine denominatore per aspettativa è sempre = 1. (vale a dire Somma f (xi) = 1) Tuttavia tali restrizioni sulla somma della frequenza (che è fondamentalmente il numero totale di voci).