Possiamo concludere da che sono indipendenti?

Bene, non possiamo, per esempio, vedere https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence per un interessante controesempio. Ma la vera domanda è: esiste un modo per rafforzare la condizione affinché segua l'indipendenza? Ad esempio, esiste un insieme di funzioni modo che se per tutti seguirà l'indipendenza? E quanto deve essere infinito un tale insieme di funzioni? $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

E, inoltre, c'è qualche buon riferimento che tratta questa domanda?

— kjetil b halvorsen
fonte

hai avuto fortuna con questo? Mi piacerebbe vedere se esiste una serie finita di funzioni che funziona per qualsiasi coppia di camper, e in particolare la giustificazione è qualcosa di diverso dalla fattorizzazione CDF

— jld

Lo esaminerò! Dubito che ci sia in generale un insieme finito, ma qualsiasi insieme che è una base di un insieme lineare di funzioni dovrebbe fare (quindi per esempio, se hanno entrambi valori in allora a set di funzioni polinomiali linearmente indipendenti (o altre) dovrebbe fare

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

— kjetil b halvorsen

Sia uno spazio di probabilità. Per definizione, due variabili casuali da sono indipendenti se le loro -algebre e sono indipendenti, ovvero abbiamo . $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Lascia che e prendi (grazie a @grand_chat per aver sottolineato che sufficiente). Quindi abbiamo ed $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

Se assumiamo che allora possiamo fare appello al teorema per mostrare che ossia . $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

Quindi, a meno che non abbia commesso un errore, abbiamo almeno ottenuto una raccolta numerabile di tali funzioni e questo vale per qualsiasi coppia di variabili casuali definite su uno spazio di probabilità comune.

— JLD
fonte

Cosa hai mostrato, in realtà? Sebbene tu abbia definito una serie innumerevole di funzioni, dove hai dimostrato che sono tutte necessarie? È difficile immaginare che una tale quantità di funzioni sarebbe necessaria quando e hanno ciascuna serie finite di valori possibili, per esempio.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@whuber stavo tentando di rispondere alla domanda se esiste o meno una tale raccolta di funzioni. Concordo sul fatto che l'aspetto più interessante è quello di trovare un set minimo (su cui sto ancora lavorando)

— jld

Puoi ridurre a un set numerabile considerando solo il razionale .

G

$G$

a

$a$

— grand_chat,

@grand_chat ottimo punto, ho aggiornato

— jld