Utilizzo del metodo generalizzato dei momenti (GMM) per calcolare il parametro di regressione logistica

Voglio calcolare i coefficienti per una regressione che è molto simile alla regressione logistica (In realtà regressione logistica con un altro coefficiente: quandopotrebbe essere dato). Ho pensato di usare GMM per calcolare i coefficienti, ma non sono sicuro di quali siano le condizioni del momento che dovrei usare.

\frac{A}{1 + e^{- (b_{0} + b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + \dots)}},

$\frac{A}{1 + e^{- (b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + \ldots)}},$

A

$A$

Qualcuno mi può aiutare con questo?

Grazie!

logistic generalized-moments

— user5497
fonte

Quando dici "

potrebbe essere dato", vuoi dire che è specificato dall'utente o che è stimato dal modello?

A

$A$

— Macro

in entrambi i casi. Posso metterlo come input (es. A = 0,25) o essere uno dei coefficienti da trovare

— user5497

Varia da soggetto a soggetto (cioè sono dati) o è una costante fissa per tutte le osservazioni?

— Macro

risolto su tutte le osservazioni (come b0, b1, ...)

— user5497

Perché non usare la massima verosimiglianza invece di GMM?

— Macro

Supponendo , questo modello ha una variabile di risposta di Bernoulli $A\leq 1$ con $Y_i$

P r (Y_{i} = 1) = \frac{A}{1 + e^{- X_{i}^{'} b}},

$Pr(Y_i = 1) = \frac{A}{1+e^{-X_i'b}},$

dove (e possibilmente , a seconda che sia trattato come una costante o un parametro) sono i coefficienti adattati e $b$ $A$ sono i dati per l'osservazione . Presumo che il termine di intercettazione sia gestito aggiungendo una variabile con valore costante 1 alla matrice di dati. $X_i$ $i$

Le condizioni del momento sono:

\begin{aligned} E [(Y_{i} - \frac{A}{1 + e^{- X_{i}^{'} b}}) X_{i}] & = 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}\bigg[\bigg(Y_i-\frac{A}{1+e^{-X_i'b}}\bigg)X_i\bigg] &= 0. \end{align*}$

Sostituiamo questo con la controparte campione della condizione, assumendo osservazioni: $N$

m = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} [(Y_{i} - \frac{A}{1 + e^{- X_{i}^{'} b}}) X_{i}] = 0

$m = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \bigg[\bigg(Y_i-\frac{A}{1+e^{-X_i'b}}\bigg)X_i\bigg] = 0$

$m'm$ $b$

$A$

dat <- as.matrix(cbind(data.frame(IsVersicolor = as.numeric(iris$Species == "versicolor"), Intercept=1), iris[,1:4]))
head(dat)
#      IsVersicolor Intercept Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
# [1,]            0         1          5.1         3.5          1.4         0.2
# [2,]            0         1          4.9         3.0          1.4         0.2
# [3,]            0         1          4.7         3.2          1.3         0.2
# [4,]            0         1          4.6         3.1          1.5         0.2
# [5,]            0         1          5.0         3.6          1.4         0.2
# [6,]            0         1          5.4         3.9          1.7         0.4

Ecco i coefficienti montati usando la regressione logistica:

summary(glm(IsVersicolor~., data=as.data.frame(dat[,-2]), family="binomial"))
# Coefficients:
#              Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
# (Intercept)    7.3785     2.4993   2.952 0.003155 ** 
# Sepal.Length  -0.2454     0.6496  -0.378 0.705634    
# Sepal.Width   -2.7966     0.7835  -3.569 0.000358 ***
# Petal.Length   1.3136     0.6838   1.921 0.054713 .  
# Petal.Width   -2.7783     1.1731  -2.368 0.017868 *

$(Y_i-\frac{A}{1+e^{-X_i'b}})X_i$ $i$

moments <- function(b, X) {
  A <- 1
  as.vector(X[,1] - A / (1 + exp(-(X[,-1] %*% cbind(b))))) * X[,-1]
}

$b$ , usando i coefficienti di regressione lineare come un comodo punto iniziale (come suggerito nell'esercitazione collegata sopra):

init.coef <- lm(IsVersicolor~., data=as.data.frame(dat[,-2]))$coefficients
library(gmm)
fitted <- gmm(moments, x = dat, t0 = init.coef, type = "iterative", crit = 1e-19,
              wmatrix = "optimal", method = "Nelder-Mead",
              control = list(reltol = 1e-19, maxit = 20000))
fitted
#  (Intercept)  Sepal.Length   Sepal.Width  Petal.Length   Petal.Width  
#      7.37849      -0.24536      -2.79657       1.31364      -2.77834  
# 
# Convergence code =  0

Il codice di convergenza 0 indica la procedura convergente e i parametri sono identici a quelli restituiti dalla regressione logistica.

momentEstim.baseGmm.iterativegmm:::.obj1 $m'm$ optimgmm

gmm.objective <- function(theta, x, momentFun) {
  avg.moment <- colMeans(momentFun(theta, x))
  sum(avg.moment^2)
}
optim(init.coef, gmm.objective, x=dat, momentFun=moments,
      control = list(reltol = 1e-19, maxit = 20000))$par
#  (Intercept) Sepal.Length  Sepal.Width Petal.Length  Petal.Width 
#    7.3784866   -0.2453567   -2.7965681    1.3136433   -2.7783439

— josliber
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