Valore atteso del tempo di attesa per il primo dei due autobus in funzione ogni 10 e 15 minuti


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Mi sono imbattuto in una domanda di intervista:

C'è un treno rosso che arriva ogni 10 minuti. C'è un treno blu che arriva ogni 15 minuti. Entrambi iniziano da un momento casuale quindi non hai nessun programma. Se arrivi alla stazione in orario casuale e sali su un treno che arriva per primo, qual è il tempo di attesa previsto?


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I treni arrivano in orario ma con fasi ugualmente distribuite sconosciute o seguono un processo di smistamento con mezzi 10 minuti e 15 minuti.
Tilefish Poele,

1
Il primo, non poisson.
Shengjie Zhang,

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@Tilefish fa un commento importante a cui tutti dovrebbero prestare attenzione. Non esiste una risposta definitiva. Devi supporre che cosa significhi "iniziare da un tempo casuale". (Significa che iniziano simultaneamente o che iniziano in momenti sconosciuti diversi? Cosa giustificherebbe il trattamento di "sconosciuto" come una variabile casuale con una distribuzione nota definita?) In funzione della loro differenza di fase (che conta solo modulo 5 minuti), la risposta può variare da 15/4 a 25/6 . Una distribuzione uniforme della differenza di fase produrrebbe 35/9 .
whuber

@whuber tutti sembravano interpretare il commento di OP come se due autobus partissero in due tempi casuali diversi. Che iniziassero nello stesso momento casuale sembra una presa insolita
Aksakal,

1
@Aksakal. Non tutti: io no e almeno una risposta in questa discussione no - ecco perché stiamo vedendo diverse risposte numeriche. Inoltre, quasi nessuno riconosce il fatto di dover interpretare in tal modo la domanda per ottenere una risposta.
whuber

Risposte:


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Un modo per affrontare il problema è iniziare con la funzione di sopravvivenza. Per aspettare almeno t minuti devi aspettare almeno t minuti sia per il treno rosso che per quello blu. Quindi la funzione di sopravvivenza globale è solo il prodotto delle singole funzioni di sopravvivenza:

S(t)=(1t10)(1t15)

che, per 0t10 , è la probabilità che dovrai aspettare almeno t minuti per il prossimo treno. Ciò tiene conto del chiarimento del PO in un commento secondo cui le ipotesi corrette da prendere sono che ciascun treno è in un orario fisso indipendente dall'altro e dall'orario di arrivo del viaggiatore e che le fasi dei due treni sono distribuite uniformemente ,

Quindi il pdf è ottenuto come

p(t)=(1S(t))=110(1t15)+115(1t10)

E il valore atteso è ottenuto nel solito modo:

,E[t]=010tp(t)dt=010t10(1t15)+t15(1t10)dt=010(t6t275)dt

che funziona a minuti359


Dave, puoi spiegare come p (t) = (1- s (t)) '?
Chef1075,

Posso spiegare che per te S (t) = 1-F (t), p (t) è solo la f (t) = F (t) '.
Deep North,

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L'idea della funzione di sopravvivenza è fantastica. Ma perché derivare il PDF quando è possibile integrare direttamente la funzione di sopravvivenza per ottenere le aspettative? In effetti, i due terzi di questa risposta dimostrano semplicemente il teorema fondamentale del calcolo con un esempio particolare. E cosa giustifica l'uso del prodotto per ottenere ? C'è un presupposto nascosto dietro quello. S
whuber

2
@whuber Preferisco questo approccio, derivando il PDF dalla funzione di sopravvivenza, perché gestisce correttamente i casi in cui il dominio della variabile casuale non inizia a 0.
Dave,

2
(1) Il tuo dominio è positivo. (2) La formula è prontamente generalizzata. .
whuber

9

La risposta è ottenere le parti all'interno dei parantheses: y<xydy=y2/2| x 0 =x2/2y>xxdy=xy| 15 x =15x-x2 Quindi, la parte è: (.)=(y<xydy+

E[t]=xymin(x,y)110115dxdy=x(y<xydy+y>xxdy)110115dx
y<xydy=y2/2|0x=x2/2
y>xxdy=xy|x15=15xx2
Infine, E [ t ] = x ( 15 x - x 2 / 2 ) 1
(.)=(y<xydy+y>xxdy)=15xx2/2
E[t]=x(15xx2/2)110115dx=(15x2/2x3/6)|010110115=(1500/21000/6)110115=510/93.89

Ecco il codice MATLAB per simulare:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)

1
Stai facendo ipotesi errate sul punto di partenza iniziale dei treni. cioè usando la tua logica, quanti treni rossi e blu arrivano ogni 2 ore? Quanti treni in totale nell'arco delle 2 ore? ecc.
Tilefish Poele,

1
I treni non possono arrivare al minuto 0 e al minuto 60?
Tilefish Poele,

1
che dire se iniziano nello stesso momento è quello che sto cercando di dire. Che cosa succede se entrambi iniziano al minuto 0. Quanti esempi di treni in arrivo hai?
Tilefish Poele,

1
La simulazione non emula esattamente la dichiarazione del problema. In particolare, non modellare il "tempo casuale" in cui si appaiono alla stazione degli autobus. In quanto tale, incarna diverse ipotesi non dichiarate sul problema.
whuber

2
@whuber emula la fase degli autobus relativa al mio arrivo alla stazione
Aksakal,

4

Supponendo che ciascun treno sia su un orario fisso indipendente dall'altro e dall'orario di arrivo del viaggiatore, la probabilità che nessuno dei treni arrivi nei primi minuti è 10 -x10x10×15x150x103593.889

115+110=166


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@Dave it's fine if the support is nonnegative real numbers.
Neil G

3
@dave He's missing some justifications, but it's the right solution as long as you assume that the trains arrive is uniformly distributed (i.e., a fixed schedule with known constant inter-train times, but unknown offset). It works with any number of trains. This is the because the expected value of a nonnegative random variable is the integral of its survival function.
Neil G

1
@Dave with one train on a fixed 10 minute timetable independent of the traveller's arrival, you integrate 10x10 over 0x10 to get an expected wait of 5 minutes, while with a Poisson process with rate λ=110 you integrate eλx over 0x< to get an expected wait of 1λ=10 minutes
Henry

1
@NeilG TIL that "the expected value of a non-negative random variable is the integral of the survival function", sort of -- there is some trickiness in that the domain of the random variable needs to start at 0, and if it doesn't intrinsically start at zero(e.g. for a different problem where the inter-arrival times were, say, uniformly distributed between 5 and 10 minutes) you actually have to use a lower bound of 0 when integrating the survival function. (starting at 0 is required in order to get the boundary term to cancel after doing integration by parts)
Dave

3
+1 At this moment, this is the unique answer that is explicit about its assumptions. All the others make some critical assumptions without acknowledging them.
whuber

2

I am probably wrong but assuming that each train's starting-time follows a uniform distribution, I would say that when arriving at the station at a random time the expected waiting time for:

  1. the Red train is E[R]=5 mins
  2. the Blue train is E[B]=7.5 mins
  3. the train that comes the first is E[min(R,B)]=1510(E[B]E[R])=154=3.75 mins


As pointed out in comments, I understood "Both of them start from a random time" as "the two trains start at the same random time". Which is a very limiting assumption.


1
Thanks! Your got the correct answer. But 3. is still not obvious for me. Could you explain a bit more?
Shengjie Zhang

1
This is not the right answer
Aksakal

1
I think the approach is fine, but your third step doesn't make sense.
Neil G

2
This answer assumes that at some point, the red and blue trains arrive simultaneously: that is, they are in phase. Other answers make a different assumption about the phase.
whuber

2

Supponiamo che i treni rosso e blu arrivino in tempo secondo l'orario, con l'orario rosso che inizia Δ minuti dopo il programma blu, per alcuni 0Δ<10. Per sicurezza supponiamo che arrivi il primo treno blu alla voltat=0.

Supponiamo per ora che Δ giace tra 0 e 5minuti. Frat=0 e t=30 minuti vedremo i seguenti treni e i tempi interarrival: treno blu, Δ, treno rosso, 10, treno rosso, 5-Δ, treno blu, Δ+5, treno rosso, 10-Δ, treno blu. Quindi il programma si ripete, iniziando con l'ultimo treno blu.

Se WΔ(t) indica il tempo di attesa per un passeggero che arriva alla stazione alla volta t, quindi la trama di WΔ(t) contro t is piecewise linear, with each line segment decaying to zero with slope 1. So the average wait time is the area from 0 to 30 of an array of triangles, divided by 30. This gives

W¯Δ:=130(12[Δ2+102+(5Δ)2+(Δ+5)2+(10Δ)2])=130(2Δ210Δ+125).
Notice that in the above development there is a red train arriving Δ+5 minutes after a blue train. Since the schedule repeats every 30 minutes, conclude W¯Δ=W¯Δ+5, and it suffices to consider 0Δ<5.

If Δ is not constant, but instead a uniformly distributed random variable, we obtain an average average waiting time of

15Δ=05130(2Δ210Δ+125)dΔ=359.

2

This is a Poisson process. The red train arrives according to a Poisson distribution wIth rate parameter 6/hour.
The blue train also arrives according to a Poisson distribution with rate 4/hour. Red train arrivals and blue train arrivals are independent. Total number of train arrivals Is also Poisson with rate 10/hour. Since the sum of The time between train arrivals is exponential with mean 6 minutes. Since the exponential mean is the reciprocal of the Poisson rate parameter. Since the exponential distribution is memoryless, your expected wait time is 6 minutes.


Il Poisson è un presupposto che non è stato specificato dal PO. Ma è necessario un presupposto come questo. La logica è impeccabile. +1 Mi piace questa soluzione.
Michael R. Chernick,

1
OP ha detto specificamente nei commenti che il processo non è Poisson
Aksakal,
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