Confusione riguardo al kriging

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Stavo leggendo questo articolo di Wikipedia relativo a Kriging. Non ho capito la parte quando lo dice

Kriging calcola il miglior stimatore lineare imparziale, , di tale che la varianza di kriging sia minimizzata con la condizione di imparzialità. Non ho ottenuto la derivazione e anche il modo in cui la varianza è ridotta al minimo. Eventuali suggerimenti? $\hat Z (x_0)$ $Z(x_0)$

In particolare, non ho ottenuto la parte in cui si applica minimizzata a condizione di imparzialità.

Penso che avrebbe dovuto essere

E [Z '(x0) -Z (x0)] invece di E [Z' (x) -Z (x)] non è vero. 'equivale a hat nell'articolo wiki. Inoltre non ho capito come viene derivato l'errore kriging

interpolation

— user31820
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Dove rimani bloccato nella derivazione?

— whuber

La parte in cui calcola l'errore di kriging e impone la condizione di imparzialità. Va bene dire che condizione imparziale significa l'attesa dello stimatore e quella vera è uguale. Ho modificato il post per includere i dettagli.

— user31820

Penso che tu abbia ragione nel dire che l'espressione di Wikipedia dovrebbe leggere .

E [Z^{'} (x_{0}) - Z (x_{0})]

$E[Z'(x_0)-Z(x_0)]$

— whuber

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Supponiamo che sia un vettore che si presume abbia una distribuzione multivariata di media sconosciuta e nota matrice varianza-covarianza . Osserviamo da questa distribuzione e desideriamo prevedere da queste informazioni usando un predittore lineare imparziale: $\left(Z_0, Z_1, \ldots, Z_n\right)$ $(\mu, \mu, \ldots, \mu)$ $\Sigma$ $\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ $z_0$

Lineare significa che la previsione deve assumere la forma per determinare i coefficienti . Questi coefficienti possono dipendere al massimo da ciò che è noto in anticipo: vale a dire, le voci di . $\hat{z_0} = \lambda_1 z_1 + \lambda_2 z_2 + \cdots + \lambda_n z_n$ $\lambda_i$ $\Sigma$

Questo predittore può anche essere considerato una variabile casuale . $\hat{Z_0} = \lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n$

Non distorto significa che l'aspettativa di uguale alla sua media (sconosciuta) . $\hat{Z_0}$ $\mu$

La scrittura delle cose fornisce alcune informazioni sui coefficienti:

\begin{aligned} μ & = E [\hat{Z_{0}}] = E [λ_{1} Z_{1} + λ_{2} Z_{2} + \dots + λ_{n} Z_{n}] \\ = λ_{1} E [Z_{1}] + λ_{2} E [Z_{2}] + \dots + λ_{n} E [Z_{n}] \\ = λ_{1} μ + \dots + λ_{n} μ \\ = (λ_{1} + \dots + λ_{n}) μ . \end{aligned}

$\eqalign{ \mu &= E[\hat{Z_0}] = E[\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n] \\ &= \lambda_1 E[Z_1] + \lambda_2 E[Z_2] + \cdots + \lambda_n E[Z_n] \\ &= \lambda_1 \mu + \cdots + \lambda_n \mu \\ &= \left(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n\right) \mu. \\ }$

La seconda riga è dovuta alla linearità delle aspettative e tutto il resto è una semplice algebra. Poiché si suppone che questa procedura funzioni indipendentemente dal valore di , evidentemente i coefficienti devono riassumere in unità. Scrivendo i coefficienti nella notazione vettoriale , questo può essere ben scritto . $\mu$ $\lambda = (\lambda_i)'$ $\mathbf{1}\lambda=1$

Tra l'insieme di tutti questi predittori lineari imparziali, ne cerchiamo uno che devia il meno possibile dal valore reale possibile , misurato nel quadrato della media della stanza. Anche questo è un calcolo. Si basa sulla bilinearità e sulla simmetria della covarianza, la cui applicazione è responsabile delle somme nella seconda riga:

\begin{aligned} E [(\hat{Z_{0}} - Z_{0})^{2}] & = E [(λ_{1} Z_{1} + λ_{2} Z_{2} + \dots + λ_{n} Z_{n} - Z_{0})^{2}] \\ = Σ_{io = 1}^{n} Σ_{j = 1}^{n} λ_{io} λ_{j} var [Z_{io}, Z_{j}] - 2 Σ_{io = 1}^{n} λ_{io} var [Z_{io}, Z_{0}] + var [Z_{0}, Z_{0}] \\ = Σ_{io = 1}^{n} Σ_{j = 1}^{n} λ_{io} λ_{j} Σ_{io, j} - 2 Σ_{io = 1}^{n} λ_{io} Σ_{0, io} + Σ_{0, 0} . \end{aligned}

$\eqalign{ E[(\hat{Z_0} - Z_0)^2] &= E[(\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n - Z_0)^2] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \text{var}[Z_i, Z_j]-2\sum_{i=1}^n\lambda_i \text{var}[Z_i, Z_0] + \text{var}[Z_0, Z_0] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \Sigma_{i,j} - 2\sum_{i=1}^n\lambda_i\Sigma_{0,i} + \Sigma_{0,0}. }$

Da qui i coefficienti possono essere ottenuti minimizzando questa forma quadratica soggetta al vincolo (lineare) . Questo è facilmente risolto usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, producendo un sistema lineare di equazioni, le "equazioni di Kriging". $\mathbf{1}\lambda=1$

Nell'applicazione, è un processo stocastico spaziale ("campo casuale"). Ciò significa che per ogni dato set di posizioni fisse (non casuali) , il vettore dei valori di in quelle posizioni, è casuale con una sorta di distribuzione multivariata. Scrivere e applicare la precedente analisi, assumendo i mezzi di processo in ogni posizioni sono uguali e assumendo la matrice di covarianza dei valori di processo a questi località è conosciuta con certezza. $Z$ $\mathbf{x_0}, \ldots, \mathbf{x_n}$ $Z$ $\left(Z(\mathbf{x_0}), \ldots, Z(\mathbf{x_n})\right)$ $Z_i = Z(\mathbf{x_i})$ $n+1$ $\mathbf{x_i}$ $n+1$

Interpretiamo questo. In base alle ipotesi (compresa la media costante e la covarianza nota), i coefficienti determinano la varianza minima raggiungibile da qualsiasi stimatore lineare. Chiamiamo questa varianza ("OK" è per "kriging ordinario"). Dipende esclusivamente dalla matrice . Ci dice che se dovessimo campionare ripetutamente da e usare questi coefficienti per prevedere ogni volta i valori dai valori rimanenti, allora $\sigma_{OK}^2$ $\Sigma$ $\left(Z_0, \ldots, Z_n\right)$ $z_0$

In media le nostre previsioni sarebbero corrette.
In genere, le nostre previsioni di si discostano di circa dai valori effettivi di . $z_0$ $\sigma_{OK}$ $z_0$

C'è ancora molto da dire prima che questo possa essere applicato a situazioni pratiche come la stima di una superficie da dati puntuali: abbiamo bisogno di ulteriori ipotesi su come le caratteristiche statistiche del processo spaziale variano da una posizione all'altra e da una realizzazione all'altra (anche se , in pratica, di solito sarà disponibile solo una realizzazione). Ma questa esposizione dovrebbe essere sufficiente per seguire come la ricerca di un "migliore" predittore lineare non distorto ("BLUP") porti direttamente a un sistema di equazioni lineari.

A proposito, il kriging come di solito praticato non è esattamente uguale alla stima dei minimi quadrati, perché è stimato in una procedura preliminare (nota come "variografia") usando gli stessi dati. Ciò è in contrasto con le ipotesi di questa derivazione, che presumeva che fosse noto (e a maggior ragione indipendente dai dati). Quindi, all'inizio, Kriging ha alcuni difetti concettuali e statistici incorporati in esso. I professionisti premurosi lo hanno sempre saputo e hanno trovato vari modi creativi per (tentare di) giustificare le incoerenze. (Avere molti dati può davvero aiutare.) Esistono ora delle procedure per la stima simultanea di $\Sigma$ $\Sigma$ $\Sigma$ e prevedere una raccolta di valori in posizioni sconosciute. Richiedono ipotesi leggermente più forti (normalità multivariata) per realizzare questa impresa.

— whuber
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C'è un sito web là fuori in cui il loro ragazzo si oppone al kriging e sembra che abbia alcuni punti validi. Penso che il tuo ultimo paragrafo qui sia molto illuminante.

— Wayne,

@Wayne Sì, puoi dire a cosa sto reagendo. Ma sebbene il kriging sia stato usato come "olio di serpente" dai consulenti, ha molto da fare, inclusa una teoria del "cambio di supporto" per confrontare i dati ottenuti da (diciamo) piccoli campioni di un mezzo con dati ottenuti da molto più grandi porzioni di quel mezzo. Kriging alla fine è oggi alla base della più sofisticata modellistica spazio-temporale. È anche un modo utile per valutare proposte alternative: ad esempio, molti interpolatori spaziali sono lineari (o possono essere linearizzati), quindi è giusto confrontare la loro varianza di stima con quella del kriging.

— whuber

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Kriging è semplicemente la stima dei minimi quadrati per i dati spaziali. Come tale fornisce uno stimatore lineare imparziale che minimizza la somma degli errori al quadrato. Poiché è imparziale l'MSE = la varianza dello stimatore ed è un minimo.

— Michael R. Chernick
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Non ho ottenuto la parte che calcola l'errore kriging. Inoltre sono confuso con la varianza e la varianza di kriging. Qual è la differenza e qual è il loro significato

— user31820

@whuber. Grazie per la spiegazione, ma non ho ottenuto la derivazione dell'equazione quando hai calcolato l'MSE del valore previsto dalla stima imparziale e dallo stimatore vero. La seconda riga deve essere specifica in tale equazione

— user31820

@whuber Inoltre non ho ricevuto la parte wiki quando calcola la varianza di kriging che è simile a quella nella tua risposta. Hanno gli stessi risultati ma i termini iniziali sono diversi. Come mai?

— user31820